专题14 对数函数及其性质-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题14 对数函数及其性质 【考点预测】 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 【典型例题】 例1．（2022·北京·北二外附属中学高一期中）已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值； (4)证明函数在上为单调递减函数． 【解析】（1）由题意,解得, 定义域为； （2）是偶函数： 证明：，所以是偶函数； （3）； （4）设， ， ∵，所以，，， ∴，即， ∴函数在上为单调递减函数． 例2．（2022·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集 (1)求以上不等式的解集； (2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值. 【解析】（1）由可得， 即，则，即， 所以 ，即的解集为. （2）因为， 令 ，则 ， 当即时，，即取得最小值； 当或即或时，，即取得最大值； 例3．（2022·广东·深圳中学高一期中）设且，函数的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的单调区间和最大值. 【解析】（1）∵函数的图象过点， ∴，∴，即， 又且，∴， 要使有意义， 则， ∴的定义域为； （2）， 令 ∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减 ∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2. 例4．（2022·上海市风华中学高一期中）阅读如下数学问题及解决过程： 已知，求y关于x的表达式． 由已知，得， ∴，故 请解答下列问题： 已知变量x，y满足关系：． (1)求y关于x的表达式并写出变量x的取值范围； (2)若，求x的值． 【解析】（1） 即 ，且 （2），令，则， 故，，当，， 综上或. 例5．（2022·新疆·兵团二中高一期中）定义在上的函数满足，且，其中且. (1)求实数的值； (2)已知：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；解关于的不等式； (3)若函数，.是否存在实数，使得函数的最小值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为，即， 所以为偶函数， 因为，， 所以， 即. （2）①当时，函数的单调递增区间为， 由偶函数性质可知，在上单调递减， 故，解得或； ②当时，函数的单调递增区间为， 故，解得. 综上所述，当时，所求不等式解集为或； 当时，所求不等式解集为. （3）结合(1)中结论，， 当时，，则； 当时，，则， 不妨令，则， 由二次函数性质可知，的图像开口向上，且对称轴轴， (i)当时，在上单调递增， 则，这与矛盾，不合题意； (ii)当时，在上单调递减， 则，这与矛盾，不合题意； (iii)当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，满足题意. 综上所述，存在实数，使得函数的最小值为，且. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·上海中学高一期末）（且），则的值为（    ） A． B．4 C．1 D．或1 【答案】A 【解析】化为 可得，，或（舍去）. 故选:A. 2．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知实数a、b满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，          令，， 则 所以当时，，即     故选：D. 3．