专题13 指数函数及其性质-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题13 指数函数及其性质 【考点预测】 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 【典型例题】 例1．（2022·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数． (1)用定义法证明在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增. （2），为上的奇函数， 由得：， 由（1）知：在上单调递增，在上恒成立； 当时，，在上恒成立；令， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为. 例2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数. (1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） ， ，              检验：，定义域为， ， 为奇函数， 故.        ∴， ∴为增函数. （2） ， ，        设， 因为， 即存在，使b成立， 当时，， . 例3．（2022·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得， 此时，是奇函数. 故. （2）当时，，故，则，又因为恒成立； 故当时，恒成立，符合条件. 当时， 当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，， 所以， 令，因为都在上单调递增， 故在单调递增，又，所以； 当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减， 故，所以令， 都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数， 又当时，，故在上恒成立， 故在无解，即不满足条件； 综上所述，. 例4．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性； (3)解关于的不等式 【解析】（1）由题知， 由得：， 所以，解得. 所以，实数的值为. （2）由（1）知：. 因为函数也在上是增函数； 又因为函数在上也是增函数，值域为. 所以，函数在上是增函数. 证明如下：在上任取，且， 所以，， 由可知， 所以，，，， 所以，即. 所以，是上的增函数. （3）由（1）（2）知，函数是上的增函数，且为奇函数， 所以，， 所以，，即，解得， 所以，关于的不等式的解集为 例5．（2022·四川·广安二中高一期中）已知指数函数的图象经过点. (1)求及的值； (2)当时，求函数的值域. 【解析】（1）指数函数的图象经过点 ， ，则； （2）， ， ， 当，即时，取得最小值为； 又 的最大值为 函数在的值域为． 例6．（2022·河南·高一期中）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)判断并证明函数在定义域上的单调性； (3)求函数的最小值． 【解析】（1）为偶函数，为奇函数，， 又，，. （2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下： 设， ； ，，即，， 在上单调递增， 又为偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减. （3）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的偶函数； 当时，为增函数，为减函数，为增函数，； 令，则，由（2）知：在上单调递增， ； 当时，， 令，则，， 当时，，都在处取得最小值，则此时； 为偶函数，当时，. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·辽宁·育明高中高一期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 令，其中. 则由可得. 又注意到：在R上单调递增，在R上单调递减， 则在R上单调递增. 则由可得，即. 故选：C 2．（2022·重庆市育才中学高一期中）已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对于，，都满足， 所以分段函数在上单调递减， 故每段函数为减函数，应满足，解得， 同时在在上单调