专题10 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题10 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数 【考点预测】 1、函数的概念 设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ，． 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集． 2、区间： 定义 名称 符号 数轴表示 闭 区 间 开 区 间 半开半闭区间 半开半闭区间 3、函数的三要素 （1）定义域； （2）对应关系； （3）值域．值域随定义域和对应关系的确定而确定． 4、函数的相等 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数． 5、函数的表示方法 （1）解析法 （2）图象法 说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点．当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象．函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域． 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等． （3）列表法 6、分段函数 （1）分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．如 （1） ， （2）． 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式．并且必须指明各段函数自变量的取值范围． ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． （2）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 【典型例题】 例1．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D． 故选：B． 例2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题， 函数定义域满足，解得． 故选：C 例3．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．的值域为 C．若，则x的值是 D．的解集为 【答案】BC 【解析】函数的定义域是，故A错误； 当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确； 当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确； 当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误． 故选：BC． 例4．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【解析】（1）对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为． 例5．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域： （1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6）． 【解析】（1）， ，函数值域为； （2），当时单调递减， 当时单调递增，， 所以函数的值域是； （3）， 所以函数的值域是； （4） ，所以函数值域是； （5），当时，， 当时，，当， 所以函数的值域是； （6）定义域为且， ， 或， 或， 所以函数的值域是． 例6．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）． （4）． 【解析】（1）方法一  因为，且，所以，所以原函数的值域为． 方法二 令，则， 所以原函数的值域为． （2）因为， 所以， 所以原函数的值域为． （3）设，则且， 得． 因为，所以，即， 所以原函数的值域为． （4）方法一 令，因为， 所以关于x的方程有解，则当，即时，； 当时，， 整理得，解得或． 综上，原函数的值域为． 方法二 令，则， 当时，； 当时，， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以． 综上，原函数的值域为． 例7