5.1.2 导数的概念及其几何意义

5.1.2 导数的概念及其几何意义 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题, 涉及平均速度和瞬时速度; 另一类是几何学中的问题, 涉及割线斜率和切线斜率 . 这两类问题来自不同的学科领域, 但在解决问题时, 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法 ; 问题的答案也是一样的表示形式 . 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 对于函数y=f(x), 设自变量x从x0变化到x0+∆x, 相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+ ∆x). 这时，x的变化量为∆x , y的变化量为 ∆y=f(x0+ ∆x)-f(x0). 我们把比值，即= 叫做函数y=f(x)从x0到x0+ ∆x的平均变化率. 当∆x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或 y′|x=x₀ ，即 由导数的定义可知，问题1中运动 员在t =1时的瞬时速度v(1)，就是函数 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 在t =1处的导 数h′(1) ； 问题2中抛物f(x)=x2线在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数f(x)=x2在x =1处的导数f′(1). 实际上，导数可以描述任何运动变 化事物的瞬时变化率，如效率、交变电 流、比热容等. 例1 设f (x)= ，求f ′(1). 求函数的增量: 2. 求平均变化率： 3. 取极限得导数值 由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法: ∆y=f(x0+ ∆x)-f(x0). 根据导数的定义 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为 y= f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6). 根据导数的定义 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3℃/h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5℃/h的速率上升. f ′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6). 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 分析: 瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2), v′(6). 根据导数的定义 解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6). 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 根据导数的定义 解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6). 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度分别为2m/s2和-6 m/s2. 它说明在第2s附近, 汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6h附近, 汽车的速度每秒大约减少6m/s. 我们知道, 导数f′(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率, 反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况. 那么导数 的几何意义是什么？ 思考? 观察函数y=f(x) 的图像，平均变化率 = 表示什么? 表示什么? 瞬时变化率 容易发现，平均变化率 = 表示割线P0P的斜率. 如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)), 如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0 , f(x0)), 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定