5.1.1导数的概念及其意义

第五章 一元函数的导数及其应用 为了描述现实世界中的运动、变化现象, 在数学中引入了函数. 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念 . 在对函数的深入研究中 , 数学家创立了微积分 , 这是具有划时代意义的伟大创造 , 被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与主要与处理四类科学问题直接相关. 一是已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度, 反之, 已知物体的加速度作为时间的函数, 求速度与路程; 二是求曲线的切线; 三是求已知函数的最大值与最小值; 四是求长度、面积、体积和重心等. 历史上的科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上,凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地成立了微积分. 导数是微积分的核心概念之一, 是现代数学的基本概念, 蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具 . 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想 . 通过具体的实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 5.1 导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异, 知道“对数增长” 是越来越慢的, “指数爆炸” 比“直线上升” 快得多, 进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题. 5.1.1 变化率问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中，运动员 在运动过程中的重心相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 如何描述用运动员从起跳到入水 的过程中运动的快慢程度呢？ 直觉告诉我们，运动员从起跳到 入水的过程中, 在上升阶段运动的越来越慢, 在下降阶段运动的越来越快, 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态. 例如, 在 0 ≤ t ≤ 0.5这段时间里， =2.35(m/s) 在 1≤ t ≤2这段时间里， h t o = -9.9(m/s) 一般地，在t1 ≤ t ≤ 这段时间里， = -4.9(t1 + t2)+4.8 思考? 计算运动员在0≤ t ≤ 这段时间内的平均速度, 你发现了什么? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现, 运动员在0≤ t ≤ 这段时间内的平均速度为0. 显然, 在这段时间内, 运动员并不处于静止状态. 因此, 用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态, 需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 探究！瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗? 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是, 可以想象, 如果不断缩短这一时间段的长度, 那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 为了求运动员在t=1时的瞬时速度, 我们在t=1之后或之前, 任意取一个时刻1+Δt, Δt是时间改变量, 可以是正值, 也可以是负值, 但不为0. 当Δt >0时, 1+Δt在1之后; 当Δt<0时, 1+Δt在1之前. 当Δt >0时, 把运动员在时间段[1, 1+Δt]内近似看成做匀速直线运动, 并计算时间段内的平均速度, 用平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度. 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内可作类似处理. 为了提高近似表示的精度, 我们不断缩短时间间隔, 得到如下表格: 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内 当Δt >0时, 在时间段[1, 1+Δt]内 Δt = = =4.9Δt5 Δt = = =4.9Δt5 观察! 给出Δt更多的值, 利用计算工具计算对应的平均速度的值. 当Δt无限趋近于0时, 平均速度有什么变化规律? 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内 当Δt >0时, 在时间段[1, 1+Δt]内