专题18 三角恒等变换-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题18 三角恒等变换 【考点预测】 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）和角公式 （）， （）， （）． （2）差角公式 （）， （）， （）． 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 3、降幂公式 ， ， ． 4、半角公式 ， ， ． 其中，符号由所在象限决定． 5、辅助角公式 ，其中，．叫做辅助角，的终边过点． 【典型例题】 例1．（2022·上海·格致中学高一期中）已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以， 又，，故， 所以． 例2．（2022·江苏苏州·高一期末）若，求的值． 【解析】，， ， ， ， 或1，即或1， ，， ，． 故答案为：． 例3．（2022·天津·高一期末）已知函数 (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)求在区间上的最值； (3)若，求的值． 【解析】（1）因为 ． 所以的最小正周期， ∵， ∴， 所以的单调递减区间为； （2）由（1）知的单调递减区间为， ∵， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又， 故； 另∵， ∴， ∵在单调递增，在上单调递减， ∴当时，， ∴当时，； （3）∵， ∴， 由，得， ∴， ∴， ． 例4．（2022·江苏南通·高一期末）已知， (1)求和的值 (2)若，，求的大小． 【解析】（1）， ； （2）， ， ∵，∴. 例5．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，，，，求： (1)的值； (2)的值. 【解析】（1）因为，， 所以，， 所以， ， 所以 . （2）因为，， 所以， 所以， 所以. 例6．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）已知函数，. (1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间； (2)若函数与关于直线对称，求在闭区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）由 . 函数的最小正周期为， 令得，故对称轴为， 由得， 即单调增区间为. （2）设图像上任意一点为， 点关于对称的点在函数上，即 ， 又，所以，则， 故， 所以；. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·浙江·高一期中）若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D. 2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， 故选：D. 3．（2022·甘肃兰州·高一期末）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 4．（2022·四川泸州·高一期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， . 故选：C 5．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可得，， 因为，，可得，， 则 . 故选：C. 6．（2022·河南开封·高一期末）已知函数，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知， ， 由，得， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 令，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 有， 所以， 故的值域为. 故选：A 7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数取最小值时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，其中， 因为当时取得最小值，所以， 故. 故选：B. 8．（2022·江西上饶·高一期末）已知函数的图象关于对称，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 其中，， 由于函数的图象关于对称，所以， 即，化简得， 所以，即， 所以， 故选：C. 二、多选题 9．（2022·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意得， 所以， 所以的值可能为，． 故选：AC 10．（2022·贵州黔东南·高一期末）关于函数，下列说法中错误的是（    ） A．其表达式可写成 B．曲线关于点对称 C．在区间上单调递增 D．，使得恒成立 【答案】ABD 【解析】 ， ，所以A不正确； 当时，有，所以B不正确； 当时，有，因为，所以C正确； 的最小正周期，若，使得恒成立，说明是f(x)的一个周期，而，与“f(x)最小正周期为”矛盾，因此D不正确． 故选：ABD 11．（2022·江苏宿迁·高一期中）下列说法正确的有（    ） A．， B．不存在无穷多个和的值，使得 C．存在这样的和的值，使得 D．当取最大值时， 【答案】CD 【解析】A：，错误； 由，要使已知条件成立，则即可，故存在无穷多个和的值，B错误，C正确； D：由且，故，则，解得，正确. 故选：CD