专题15 函数的零点问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题15 函数的零点问题 【考点预测】 1、 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点. （2）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 2、用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的中点. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 3、 函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 【典型例题】 例1．（2022·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝． (1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本） (2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意得， （2）当时，由二次函数性质得， 当时，由基本不等式得， 则，当且仅当即时等号成立， 综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元 例2．（2022·江苏省洪泽中学高一期中）某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题. (1)求的解析式； (2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为， 代入①得，， 所以， 故， 又由③得，， 所以b=3； 因此， 经检验，，满足题干所给条件， 所以； （2）因为方程恰有3个实数根， 显然0为其一个实数根， 所以方程恰有2个非0实数根， 即方程恰有2个实数根，且两根非， 由可得，， 又由均不是此方程的根， 则， 所以，m的取值范围为. 例3．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高一期中）已知定义在区间上的函数． (1)求函数的零点； (2)若方程有四个不等实根，且，证明． 【解析】（1）令，解得，． 所以函数的零点是和. （2）证明： 易知对勾函数的图像如下图所示： 则的图像如下： 如图，要使有四个根，则， 令，当，则， 由韦达定理知：； 当，则， 由韦达定理知：． ∴． 例4．（2022·江苏·海安高级中学高一期中）设函数，（，）. (1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点； (2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）函数有且只有一个零点， 所以方程有且仅有一个根， 当时，，即，满足题设； 当时，，即，此时，满足题设； 综上，时，零点为2；，零点为4. （2）因为对任意的，总，使得成立， 所以的值域是的值域的子集， 可得时， 在上单调递增，且， 所以的值域为. 当时，在上单调递增，故，即， 所以可得   解得； 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递减，故，即， 所以可得，解得； 综上，m的取值范围为. 例5．（2022·北京市昌平区第二中学高一期中）已知函数． (1)画出此函数的图像； (2)求不等式的解集； (3)若函数有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 故其函数图象如下所示： . （2）当时，令，即，解得， 当时，令，即，解得， 综上所述，不等式的解集为：. （3）若函数有三个零点， 即的函数图象有三个交点， 数形结合可知，即可，解得， 故实数的取值范围为：. 例6．（2022·北京·牛栏山一中高一期中）已知函数. (1)画出函数的图象，并写出的解析式； (2)设