专题14 对数函数及其性质-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题14 对数函数及其性质 【考点预测】 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 【典型例题】 例1．（2022·北京·北二外附属中学高一期中）已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值； (4)证明函数在上为单调递减函数． 【解析】（1）由题意,解得, 定义域为； （2）是偶函数： 证明：，所以是偶函数； （3）； （4）设， ， ∵，所以，，， ∴，即， ∴函数在上为单调递减函数． 例2．（2022·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集 (1)求以上不等式的解集； (2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值. 【解析】（1）由可得， 即，则，即， 所以 ，即的解集为. （2）因为， 令 ，则 ， 当即时，，即取得最小值； 当或即或时，，即取得最大值； 例3．（2022·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围； （2）若函数的值域为，求的范围. 【解析】（1）的定义域为，对恒成立； 当时，不等式变为，即，不合题意； 当时，若恒成立，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为； （2）设的值域为， 的值域为，； 当时，，则，满足题意； 当时，若，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 例4．（2022·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数. (1)若，且的定义域为，求的取值范围； (2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，的定义域为, 则，解得：； （2）当时，， 函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且， 当时，在上单调递减，并且，满足条件， 当时，需满足下列条件 则，解得：, 综上可知存在实数，的取值范围是. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 解得， 的开口向下，对称轴为， 函数在上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为. 故选：D 2．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象， 因此，，， ，，，即， 故选：C． 3．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，时，；当时，； 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，时，；时，；时，. 所以，的解集为. 故选：B 4．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R， 因此函数在上的取值集合包含， 当时，函数在上的值为常数，不符合要求， 当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求， 于是得，函数在上单调递增，取值集合