专题13 指数函数及其性质-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题13 指数函数及其性质 【考点预测】 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 【典型例题】 例1．（2022·重庆市巴川国际高级中学校高一期中）已知函数． (1)用定义法证明在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增. （2），为上的奇函数， 由得：， 由（1）知：在上单调递增，在上恒成立； 当时，，在上恒成立；令， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为. 例2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数. (1)求的值，并判断的单调性（不必说明理由）； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） ， ，              检验：，定义域为， ， 为奇函数， 故.        ∴， ∴为增函数. （2） ， ，        设， 因为， 即存在，使b成立， 当时，， . 例3．（2022·江苏·淮阴中学高一期中）已知函数为定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得， 此时，是奇函数. 故. （2）当时，，故，则，又因为恒成立； 故当时，恒成立，符合条件. 当时， 当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，， 所以， 令，因为都在上单调递增， 故在单调递增，又，所以； 当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减， 故，所以令， 都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数， 又当时，，故在上恒成立， 故在无解，即不满足条件； 综上所述，. 例4．（2022·山西省运城中学校高一期中）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)设，求在上的最小值. 【解析】（1）∵为奇函数，∴ ， 可得 ，此时，满足， 即函数是定义域为的奇函数， 所以函数的解析式为； （2）在上为增函数. 证明：设为R上任意两个实数，且， , ,∴， ∴在上为增函数. （3）由， 可得, 令 ， 由(2)知为增函数，∵ ，∴ ， 令 , 当 时， 在 上单调递增,故 ； 当 时，在上单调递减，在 上单调递增, 故 ； 当 时, 在上单调递减，故; 综上所述, . 例5．（2022·重庆南开中学高一期中）已知函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围． 【解析】（1） ，解得：． （2），和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数， 又函数的定义域为，则，所以为奇函数， 即对恒成立， 整理得：对恒成立， 当时，不等式等价于对恒成立，， 当时，， 令，， 由于 所以，当时取等，∴， 综上：． 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·北京二中高一阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，因为，所以函数单调递增， 当时，，因为，所以函数单调递减． 故选：C． 2．（2022·重庆一中高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，令，解得，所以， 即函数恒过定点. 故选：A 3．（2022·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 故选：C. 4．（2022·天津·南开大学附属中学高一期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，得， ，即. 故选：B 5．（2022·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得在