专题11 指数运算与对数运算-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题11 指数运算与对数运算 【考点预测】 1、n次方根与分数指数幂 （1）方根 如果，那么叫做的次方根，其中，且． ①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数．这时，的方根用符号表示． ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）． 负数没有偶次方根． 0的任何次方根都是0，记作． 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 关于根式有下面两个等式： ； ． 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂 （，，，）． 0的正分数指数幂等于0． （2）负分数指数幂 （，，，）． 0的负分数指数幂没有意义． （3）有理数指数幂的运算性质 ①（，，）； ②（，，）； ③（，，）． 3、无理数指数幂及其运算性质 （1）无理数指数幂的概念 当是无理数时，是无理数指数幂．我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数． （2）实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质． ①（，，）； ②（，，）； ③（，，）． 4、对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作． 其中叫做对数的底数，叫做真数． 当，且时，． 5、两个重要的对数 （1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为． （2）自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作． 6、关于对数的几个结论 （1）负数和0没有对数； （2）； （3）． 7、对数的运算 如果，且，，，那么 （1）； （2）； （3）（）． 8、换底公式 （，且，，，）． 【典型例题】 例1．（2022·上海·高一期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝_____（用a，b表示）． 【答案】 【解析】∵log189＝a，b＝log185，∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845， log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝＝2﹣log189＝2﹣a； ∴log3645＝＝． 故答案为：． 例2．（2022·上海大学附属南翔高级中学高一期中）已知，，则___________. 【答案】2 【解析】因为，，所以，， 所以. 故答案为：2. 例3．（2022·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中）（1）计算 （2）化简：. （3）已知，求的值. 【解析】(1) (2) (3)因为，两边同时平方可得：， 再将两边同时平方可得：， 所以. 例4．（2022·江西省莲花中学高一期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【解析】（1）原式； （2）①∵， ∴， 又由得， ∴， 所以； ②（法一） ， （法二） ， 而 ， ∴， 又由得， ∴， 所以. 例5．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）计算： (1)； (2). 【解析】（1）原式； （2）原式. 例6．（2022·江苏省洪泽中学高一期中）求下列各式的值. (1)； (2). 【解析】（1）原式； （2）原式. 例7．（2022·上海·曹杨二中高一期中）已知、、均为正实数. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，所以，即， 再平方得，故； （2）对同取的底数可得， 即， ，所以. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·江苏盐城·高一期中）若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，则， 由于，，可解得， 所以 故选：B. 2．（2022·陕西·永寿县中学高一期中）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，令，则，，显然A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3．（2022·江苏·常州市第三中学高一期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设设这个39位数为，这个数的64次方根为， 所以，两边同时取以10为底的对数可得：， 所以，因为， 所以， 也即， 因为，，所以， 所以， 故选：C. 4．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以 ． 故选：D. 5．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 ； 故选：B 6．（2022·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知，