专题05 幂指对函数的图象与性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题05 幂指对函数的图象与性质 知识点1 幂函数的图象与概念 1、幂函数的概念与图象 （1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． （3）幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点2 指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 知识点3 对数函数的概念 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 3、对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 考点1 幂指对函数的概念判断 【例1】（2020·广西·昭平中学高一阶段练习）下列函数既不是幂函数又不是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A: 是指数函数，不合题意； 选项B: 是幂函数，不合题意； 选项C: 既不是指数函数，又不是幂函数，符合题意； 选项D: 是指数函数，不合题意.故选：C 【变式1-1】（2021·江苏·高一专题练习）下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ） A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1) C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 【答案】B 【解析】A中底数不满足大于0且不等于1，故错误； B中函数满足指数函数的形式，故正确； C中系数不是1，故错误； D中指数部分不是x，故错误；故选：B 【变式1-2】（2021·全国·高一专题练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且所以，故选：B 【变式1-3】（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D； 对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件； 对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增， 又，所以值域为，不满足条件；故选：A 考点2 求幂指对函数的解析式 【例2】（2021·全国·高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（