四类特殊函数的性质-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,四类特殊函数的性质 高考对函数的考查广泛而深刻，如抽象函数、自定义函数，绝对值函数、嵌套函数等多有涉及，且难度较大，我们将对这几类函数加以探究． 题型一　抽象函数 【例1】 (1)(2020·湖州中学质检一)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(x)是奇函数”是“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，f＝________． 答案　(1)B　(2)　 解析　(1)若函数f(x)＝则函数f(x)为奇函数，此时显然f(x＋y)＝f(x)＋f(y)不恒成立，故充分性不成立；当f(x＋y)＝f(x)＋f(y)时，令x＝y＝0，有f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，故必要性成立．综上所述，“f(x)是奇函数”是“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的必要不充分条件，故选B. (2)令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，① 令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1，② 联立①②解得f(－2)＝，f＝. 感悟升华　1.抽象函数的常见类型 (1)线性函数型抽象函数：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m(m为常数)． (2)指数函数型抽象函数：f(x＋y)＝f(x)f(y)． (3)对数函数型抽象函数：f(xy)＝f(x)＋f(y)． (4)幂函数型抽象函数：f(xy)＝f(x)f(y)． 2．常用方法：赋值法、构造特例、数形结合． 【训练1】 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(8，＋∞) B．(8，9] C．[8，9] D．(0，8) 答案　B 解析　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有解得8<x≤9. 题型二　自定义函数 【例2】 (1)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1) (2)定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________． 答案　(1)D　(2)(0，2) 解析　(1)由f(x)＝f(2a－x)， ∴y＝f(x)关于直线x＝a对称(a≠0)， 题中四个函数中，存在对称轴的有B，D，而B中f(x)＝x2的对称轴为x＝0，不满足题意，故选D. (2)因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值法，所以＝m＝f(x0)， 即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1. 所以必有－1<m－1<1，即0<m<2， 所以实数m的取值范围是(0，2)． 感悟升华　自定义函数关键在于理解所给定义、性质或规则，转化为所熟悉的问题来解决． 【训练2】 (2020·浙江考前冲刺卷六)若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)>2f，则称函数f(x)具有H性质．则下列函数不具有H性质的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ln x C．f(x)＝x2(x≥0) D．f(x)＝tan x 答案　B 解析　若对定义域 内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)>2f，则点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的中点在点的上方，示意图如图所示(其中a＝，b＝f)．根据基本初等函数f(x)＝，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x的图象可知，函数f(x)＝，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质，故选B. 题型三　绝对值函数 角度1　根据绝对