平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,平面向量中极化恒等式、等和(高)线定理及最值(范围)问题) 1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)平行四边形PMQN，O是对角线交点．则： ①·＝[|PQ|2－|NM|2](平行四边形模式)； ②·＝|PO|2－|NM|2(三角形模式)． 2．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立． (2)平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和(高)线． ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 3．平面向量中的最值(范围)问题 (1)向量投影、数量积、向量的模、夹角的最值(或范围)． (2)向量表达式中字母参数的最值(或范围)． 题型一　极化恒等式的应用 【例1】 (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 (2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为__________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为__________． 答案　(1)C　(2)　 解析　(1)＋＝2，∴(＋)·＝2·，取OC中点D，由极化恒等式得，·＝|PD|2－|OC|2＝|PD|2－，又|PD|＝0，∴(＋)·的最小值为－. (2)法一　依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos ∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin B＝，因此2－的最小值为－＝，即·的最小值为. 法二　因为＝λ， 所以AD∥BC，则∠BAD＝120°， 所以·＝||·||·cos 120°＝－， 解得||＝1. 因为，同向，且BC＝6， 所以＝，即λ＝. 在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝. 以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系． 如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧， 则N(a＋1，0)，且－≤a≤. 又D，所以＝， ＝， 所以·＝a2－a＋＝＋. 所以当a＝时，·取得最小值. 感悟升华　(1)极化恒等式多用于向量的数量积； (2)注意在三角形、平行四边形中的应用． 【训练1】 (1)(2021·杭州二中模拟)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3 ，BC＝10，则·＝________． (2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________． 答案　(1)－16　(2)[－2，6] 解析　(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16. (2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2. 又由极化恒等式得 ·＝PD2－AB2＝PD2－3， 因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3， 当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1， 所以·∈[－2，6]． 题型二　等和线定理的应用 【例2】 (1)如图，平面内有三个向量，，，其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________． (2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为上的一个动点，若＝x＋y，则3x＋y的取值范围是________． 答案　(1)6　(2)[1，3] 解析　(1)法一　连接AB，交OC于点D，则 ∠DOA＝∠OAD＝30°，∠BOD＝90°， ||＝||tan