6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教必修二 第六章 6.4.3 正弦定理、余弦定理（习题课） 第六章 　平面向量及其应用 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(重点) 2.三角形各种类型的判定方法. (难点) 复习：我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？ D 思考1：你能用三角形的边长和角的正弦表示三角形的面积吗？ （课本53页习题6.4第10题） 探究点1 三角形面积公式 A a C B c b ha hc hb A a ha C B D c b ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA 三角形面积公式 BC 当三角形为直角三角形和钝角三角形时 你可以证明吗？ 例1. 解： = = 例2.证明：在中， 其中R是三角形外接圆的半径。 探究点2 正弦定理中比例系数的几何意义 （2）当为锐角三角形时，三角形外接圆圆心O在三角形内部， O C/ c b a C B A 过B作直径,连 当C为钝角时同理可证.（请同学们课下完成此种情况的证明） O C A B a c b 证明：（1）当，三角形外接圆圆心O在斜边BC上， Rt中，sinC=sinB= 7 （1）acosA = bcosB. 例3 判断满足下列条件的三角形的形状. 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”. 探究点3 判断三角形的形状 （2）acosB = bcosA . 另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B,或2A+2B=180° 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 所以A=B，或A+B=90° 思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？ （2）因为acosB = bcosA 由正弦定理得sinAcosB = sinBcosA 移项得，sinAcosB - sinBcosA=0 即sin（A-B）=0 所以A-B=0，即A=B 所以三角形为等腰三角形。 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用. 探究点4 正余弦定理的综合应用 （1）sinC的值； （2） 由正弦定理=, 得sinC ==×= 由余弦定理=+-2bccosA , 得 即 解得b=8或b=-5（舍） 所以，的面积S=bcsinA=×8×3×=6 (2)解法1：因为a=7,所以c=×7=3 (2)解法2：因为a=7,所以c=×7=3 ， 由余弦定理=+-2abcosC , 得 即b+40=0 解得b=5或b=8 为什么会出现两个答案？两种解法谁错了？ 经验证，这里b=5应该舍去，否则a为最大边，即A为最大角， 这与A= 所以，的面积S=bcsinA=×8×3×=6 sinC=cosC= (2)解法3：因为a=7,所以c=×7=3 sinC=cosC= sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 所以，的面积S=bcsinA=×8×3×=6 解决此类问题，利用余弦定理如何选择公式可以避免产生增根？ =+-2bccosA , 得 = -2abcosC , 得 移项后，常数项为负，即两根之积为负，一个正跟，一个负根 移项后，常数项为正，即两根之积为正，一个正跟，两个正根 会产生增根，需要检验 因此从大边的平方出发不会产生增根 a=3,b= 求边长c的值。 1.设所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 当堂检测 【解析】选A.因为 所以由正弦定理得 所以三角形ABC是直角三角形. 2. 答：三角形的面积为 5.已知a，b，c分别为△ABC 三个内角A，B，C的对边， （1）求A. （2）若a=2，△ABC的面积为 ，求b,c. 解： （1）由 及正弦定理得 由于sinC≠0，所以 又0<A< ,故A= . 3. （2）△ABC的面积 1.三角形面积公式： 3.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”. 2.正弦定理中的比例系数 $