6.4.1 平面几何中的向量方法课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教必修二 第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法 第六章 　平面向量及其应用 学习过 平面向量的概念和运算 平面向量基本定理 平面向量的坐标表示 即将学 向量方法解决平面几何问题 向量方法解决物理中的问题 探索三角形边长与角度的关系 通过向量的应用学习，感受向量在解决数学和实际问题中的作用 本节讲述利用向量方法解决平面几何问题 　　由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题． 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标！ 5 例1.如图，DE是 的中位线，用向量方法证明： 证明：因为DE是 的中位线，所以 从而 于是 　　1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 　　2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 　　3) 把运算结果“翻译”成几何元素． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 可简单的表述为： [形到向量] —— [向量的运算] —— [向量和数到形] 7 例2：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ A B C D 解：取 为基底，设 ， 则 所以 上面两式相加得 所以 第一步：形到向量 第二步：向量的运算 第三步：向量和数到形 8 当堂检测： 　1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　法一：设eq \o(AD,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up17(―→))＝eq \o(DA,\s\up17(―→))＋eq \o(AE,\s\up17(―→))＝－a＋eq \f(1,2)b， eq \o(AF,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BF,\s\up17(―→))＝b＋eq \f(1,2)a， 所以eq \o(AF,\s\up17(―→))·eq \o(DE,\s\up17(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(1,2)b2＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0. 故eq \o(AF,\s\up17(―→))⊥eq \o(DE,\s\up17(―→))，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \o(AF,\s\up17(―→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up17(―→))＝(1，－2)． 因为eq \o(AF,\s\up17(―→))·eq \o(DE,\s\up17(―→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以eq \o(AF,\s\up17(―→))⊥eq \o(DE,\s\up17(―→))，即AF⊥DE. 2．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2). 求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设eq \o(AB,\s\up17(―→))＝m，eq \o(AD,\s\up17(―→))＝n， 由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点， ∴eq \o(FO,\s\up17(―→))＝eq \o(FA,\s\up17(―→))＋eq \o(AO,\s\up17(―→))＝eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up17(―→)) ＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)(m＋n)＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n， eq \o(OE,\s\up17(―→))＝eq \o(OC,\s\up17(―→))＋eq \o(CE,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \f(1,3) eq