第7讲 双曲线的性质及应用讲义-2023届高三数学一轮复习

第7讲 双曲线的性质及应用 一、教学目标： 1．掌握双曲线的定义及简单几何性质． 2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念． 3．能区别椭圆与双曲线的性质． 二、教学重点、难点： 1．双曲线的几何性质的理解和应用．(重点)。 2．与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点) 3．经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力． 三、教学方法： 一学，二记，三应用 四、知识梳理： 1．双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质 （1）范围：易知，故，即或．故双曲线在不等式与所表示的区域内． （2）对称性：双曲线关于_____、_____和_____都对称．原点为双曲线的对称中心，也称为双曲线的中心． （3）顶点：双曲线与x轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．两个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为2a． 注：双曲线(a＞0，b＞0)与y轴没有交点，我们将两点(0，－b)，(0，b)间的连线段称为双曲线的虚轴，长为2b． （4）渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交，这两条直线称为双曲线的渐近线． （5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率． 注：离心率e反映双曲线开口的程度，e越大，双曲线的开口越大；e越小，双曲线的开口越小． 2．双曲线，(a＞0，b＞0)的几何性质比较 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0) 下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c) 顶点 轴 线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 离心率e 注：双曲线与椭圆的几何性质的异同.尤其是: 椭圆有4个顶点，双曲线只有2个顶点.椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e(0,1),双曲线的离心率e(1,+).渐近线是双曲线特有的性质. 3．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率________． 4．直线与双曲线的位置关系： 位置关系 公共点 判定方法 相交 有两个（或一个）公共点 >0 相切 有一个公共点 =0 相离 没有公共点 <0 判别式指：将直线的方程代入双曲线的方程消去一个未知数后得到的一元二次方程的根的判别式. 5．直线与双曲线相交所得的弦长公式： 设直线方程y=kx+m与双曲线+= 1(或+=1,其中a>b>0)交于P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2),则 | P1P2|===|x2- x1| 或 | P1P2|=|y2-y1| 五、课前测试： 1．已知方程和，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ） 2．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是 (　　)A．8 B．9 C．10 D．12 3．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点. 若点P在双曲线上且·＝0,则|＋|=____. 六、典例剖析 题型一 双曲线的简单几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 【点拨】讨论双曲线几何性质,先将双曲线方程化为标准形,再根据双曲线两种形式的特点得到几何性质． 例2（1）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为________________； （2）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的渐近线方程为________________． 【点拨】由双曲线的标准方程求渐近线方程,关键是求出a,b值．也可把标准方程中的“1”用“0”替换． 课堂练习1 （1）求双曲线25y2－4x2＋100＝0的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程． （2）双曲线的右顶点为，右焦点为．过点平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则 ． 题型二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 （1）求解双曲线的离心率一般有两种方法： 方法一直接求出a,c的值,或由条件寻找a,c所满足的等式(或不等式),常用的公式变形为,其中a