专题05 概率初步与统计（15个考点）【知识梳理+解题方法+过关测试】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

专题05概率初步与统计（15个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．随机事件 【知识点的认识】 1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”） 2．特点： （1）随机事件可以在相同的条件下重复进行； （2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现． 3．注意： （1）随机事件发生与否，事先是不能确定的； （2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到． （3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发． 二．互斥事件与对立事件 【知识点的认识】 1．互斥事件 （1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件． 如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥． （2）互斥事件的概率公式： 在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+B）＝P（A）+P（B） 注：上式使用前提是事件A与B互斥． 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即： P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An） 2．对立事件 （1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做． 注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件； ②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一． （2）对立事件的概率公式： P（）＝1﹣P（A） 3．互斥事件与对立事件的区别和联系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 【命题方向】 1．考查对知识点概念的掌握 例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．“至少有一个红球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是黑球” C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” 分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确 对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确 对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确 对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件， 又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球， 得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件， ∴D正确 故选D 点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题． 例2：下列说法正确的是（　　） A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小． 分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系． 解答：根据对立事件和互斥事件的概念， 得到对立事件一定是互斥事件， 两个事件是互斥事件不一定是对立事件， 故选B． 点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案． 2．互斥事件概率公式的应用 例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是　　 分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求． 解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥， 则，， 则乙不输即为事件A+