同角三角函数基本关系与诱导公式 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修4

步步升教育焦点专题 高一决定高考 九大校区总电话：88369993 步步升教育焦点专题 八大校区总电话： 88369993 第二课 同角三角函数基本关系与诱导公式 【知识点梳理】 一、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：；（2）商数关系：． 推论：，， ，． 二、三角函数的诱导公式 （1）诱导公式的记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数来讲的，“变”与“不变”是指三角函数名称的变化．若“变”则是变，变. “符号看象限”是指将看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号即为诱导公式中新三角函数的符号．如将写成，因为3是奇数，则“cos”变为 “sin”，又将看作锐角时，为第四象限角，符号为“+”，所以有=． （2）角的转化：设为锐角，角可按下列规律转化为锐角 【典型例题】 题型一 利用基本关系式求三角函数值 例题1：（1）已知，并且是第二象限角，求． （2）已知，求． 变式1：在中，已知，则 （ ） 题型二 正弦与余弦的齐次分式问题 例题2：已知，则 ． 例题3：已知，则的值为 ． 变式2：已知3，则 ． 变式3：若，则的值等于（ ） 题型三 平方关系的运用 例题4：设，，则 （ ） 例题5：已知是三角形的一个内角，且，是关于的方程的两根，则（ ） 变式4：若、是方程的两根，则的值为（ ） 题型四 利用基本关系化简与证明 例题6：求证：． 例题7：化简． 变式5：已知是第二象限角，化简． 变式6：求证：． 题型五 诱导公式的化简求值 例题8：求下列三角函数值： （1）；（2）；（3）；（4）． 例题9：化简：． 变式7：（1）若则的值是 （ ） A． B． C． D． （2）已知，则的值为 （ ） A． B．－2 C． D． （3）已知，为第三象限角，求的值． 【方法与技巧总结】 1、利用同角三角函数的基本关系求解“知一求二”相关类型的问题时，一般先是确定角的象限或范围，确定所求三角函数值的正负（一般是确定所求角的正弦值或余弦值的正负），然后再根据三角函数的两种基本关系——平方关系和商数关系求解，最终注意所求三角函数值的符号，即遵循“定位定号定值”的步骤进行． 2、在利用同角三角函数的求值化简中，充分利用同角三角函数之间的平方关系和商数关系以及相关推论，综合运用切弦互化、的代换等基本思想的应用，将问题逐步简化． 3、“弦化切”的基本思想常利用于下面两种题型： （1）弦的分式齐次式：分式中分子和分母中的弦（正弦或余弦或正余弦的乘积）均为次，在分子和分母中同时除以，直接将分子和分母化为正切，然后代数求解； （2）弦的二次整式：在整式上除以化为弦的二次分式齐次式，然后在分子和分母上同时除以化为正切求解． 4、利用同角三角函数关系求值时，当、和同时存在时，可以利用三者之间关系求解，如，，求解时需根据角的范围确定所求代数式的正负． 5、证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有： （1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子； （3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 6、诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，再进行求值． 【巩固练习】 1、α是第四象限角，，则sin α等于（ ） A． B． C． D． 2、的值是（ ） A． B． C． D． 3、（2009陕西）若，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D． 4、已知cosα＝，则sin2α等于（ ） A．　　 　B．±　 　　C．　 　　D．± 5、已知，，则（ ） 6、（2010全国）记，那么tan100°=（ ） A． B． C． D． 7、设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为 （ ） A． B．