专题10 二次函数中的特殊角问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题10 二次函数中的特殊角问题 1．已知点C为抛物线的顶点． (1)直接写出点C的坐标为 ； (2)若抛物线经过点． ①直接写出抛物线解析式为： ； ②如图1，点B，以为底的等腰交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转到，求的坐标； (3)如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线交抛物线另一点于E，交直线l于点D，过M作轴，交抛物线于另一点N，过E作于点F．若点M的横坐标为，试探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的坐标为； (3)．理由见解析 【分析】（1）根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可； （2）①把点代入，即可求解； ②利用等腰直角三角形的性质求得A的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点P的坐标，过点作轴于点H，证明，据此即可求解； （3）先后求得点M、D、E、F的坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：①点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为：； 故答案为：； ②过点A作轴于点G， ∵B， ∴， ∵是以等腰直角三角形， ∴， ∴A， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或(舍去)， ∴P， 过点作轴于点H， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵A，P， ∴，， ∴的坐标为； （3）解：．理由如下： ∵C， 设直线的解析式为， ∵点M的横坐标为，且点M在抛物线上， ∴点M的坐标为， ∴点D的横坐标为，且点D在直线上， ∴点D的坐标为， 解方程得或， ∴点E的坐标为， ∴点F的坐标为， ∴， ， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标； (3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为或； (3)（3）抛物线顶点横坐标t的取值范围为-3≤t＜0或 ． 【分析】（1）根据抛物线关于轴对称，，得，，用待定系数法即得抛物线的解析式是； （2）当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，根据，，可推得，得到，设直线为，待定系数法得直线为，从而解得，；当在下方时，过作交直线于，过作KG//x轴，过作于，过作于，同理可得，； （3）由平移后顶点在直线上，设平移后的抛物线为，把代入得：，解得或，结合函数图象可得，把代入得：，解得或，结合函数图象可得：． (1) 解：抛物线关于轴对称，， ，， 把代入得：， ， 抛物线的解析式是； (2) 当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ，，， ，， ， 设直线为， ， 解得， 直线为， 由得：（点横坐标，舍去），， 当时，， ，； 当在下方时，过作交直线于，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 设直线为，将，代入得： ，解得， 直线为， 由得（舍去）或， ，； 综上所述，点的坐标为，或，； (3) 平移后顶点在直线上， 设平移后的抛物线顶点为，则平移后的抛物线为， 把代入得：，解得或，如图： 结合函数图象可得， 把代入得：，解得或，如图： 结合函数图象可得：， 综上所述，抛物线顶点横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形全等的判定与性质等知识，还考查了数形结合、分类等数学思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．如图，二次函数的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为，点C的坐标为，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D． (1)求二次函数和直线的函数表达式； (2)连接，则的面积为________； (3)在y轴上确定点Q，使得，点Q的坐标为________； (4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6 (3)或 (4)存在，或 【分析】（1）把B点坐标代入函数解析式即可求出二次函数解析式，求出A点坐标后即可求出AC解析式； （2）先求出D点坐标，再用公式法求的面积； （3）当Q在正半轴时，根据C点坐标可得，根据二次函数对称性结合可得，即