专题09 二次函数中的面积问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题09 二次函数中的面积问题 1．如下图所示，已知抛物线与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求点M的坐标； (3)在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）、将三点坐标代入解析式列出方程组求解即可； （2）、过点M作MD平行于y轴，也BC交于D，则可得： ，用待定系数法求出BC解析式，设出M、D坐标，代入可得出S的表达式，配成顶点式求最值即可； （3）四边形ABMC的面积= ，则结合（2）可列出方程，求解即可． （1） 解：将 代入抛物线解析式得： ， 解得： ， ； （2） 过点M作轴交BC于D，交OB于E，过C作于F， 为矩形， ， 设直线BC的解析式为： ， 将点（0，4）、（4，0）代入得： ， 解得： ， 则直线BC的解析式为： ， 设 ，则 ， ， ， ， ∵点M在直线BC的上方， ， ∴当 时，最大，此时， ∴ ； （3） 由（2）得：， 点M在直线BC的上方， ， ， 四边形ABMC的面积= ， 则由题意得：， 解得： 或 ， 当时，， 当时，， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，割补法求面积，二次函数最值，熟练掌握以上知识点并综合运用是解题的关键． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A在x轴正半轴上，且满足BC=BA， (1)求抛物线的解析式： (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； (3)如图②所示，在抛物线上一点D（在对称轴AC的右侧），有∠ACD=30°，求出D点的坐标：并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，存在，或 【分析】(1)由题意可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，将B(0,3)代入可得a，则可求解析式； (2)连接PO，设，分别求出，，，再由及二次函数的性质，即可求得最大值； (3)设点D的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，可求得DG、CG，在Rt△CGD中，根据勾股定理可求得CG，可得方程，解方程可得点D的坐标，可求得AG、GD，连接AD，在Rt△ADG中，AD=AC=6，∠CAD=120°，可知点Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，∠CQD=60°，设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2=36，解方程求出m的值，即可求得点Q的坐标． （1） 解：抛物线的顶点坐标为C(3,6)， 故可设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+6， 将B(03)代入，可得， 故； （2） 解：如图：连接PO， 由题意可知，BO=3，BC=BA， 由勾股定理得：， ∴OA=3， 设， 则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大为； （3） 解：存在； 设D点坐标为， 过点D作对称轴的垂线，垂足为G， 则DG=t-3，， ， ， 在中，， ， 解得，t=3(舍去)， ， ，， 连接AD，在中，， ，， 点Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上， 此时，， 设Q(0,m)，AQ为圆A的半径， ， ， ， 解得或 综上，Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键． 3．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）． (1)求该抛物线的解析式： (2)如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长最小值； (3)如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线）y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线； (2)C△APM最短= ； (3)在新抛物线）y'的对称轴上存在点Q（-7，7）或（-7，）或（-7，-），使得△ACQ为等腰三角形． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式先代入对称轴，化为再代入点B（2，0），点C（0，4）坐标得出，解方程组即可； （2）先求A点坐标，当y=0时，，解方程得出点A（-4，0），再利用待定系