专题08 二次函数中的等腰等直三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题08 二次函数中的等腰等直三角形 1．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)的值为，，1，2 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； （2）解：设，， 则，， 当时，①，解得，（舍去）， ②，解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ，解得或（舍 当时，， ，解得或（舍， 当是等腰三角形时，的值为，，1，2． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点. (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，， 【分析】（1）分别将、代入函数解析式，求解即可； （2）求出直线的解析式，分三种情况讨论、、，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，， 当时，， 整理得：， 变形得：， 解得， 故答案为：， （2）， 设解析式为，把坐标代入得， ， 解得， 解析式为， 为等腰三角形，点在线段上，设，， 以为底边，作中垂线与交点为，，， ， 以为腰， 当时， ， 或舍去， ， ， 当时，点与点重合，， 为等腰三角形符合条件的点的坐标为：，，； 【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了二次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 3．如图所示，关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点. (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)存在，的坐标为：或或或．理由见解析． 【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式将点A、点C代入即可求解； （2）先根据函数与x轴交点求出B点坐标，在根据等腰三角形进行分类讨论腰，即可得到4个点坐标． 【详解】（1）解：把和代入，得． 解得：，． 二次函数的表达式为：． （2）解：存在，理由如下： 令，则，解得：或． ， ∵， ． 如图1，点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论： ①当时，， 或． ，； ②当时，． ； ③当时，， 此时与重合． ； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查求二次函数解析式及二次函数上动点围成等腰三角形问题，关键在于分类讨论． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点是二次函数图象上一动点，交其对称轴于点，点关于点成中心对称，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上运动，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用顶点坐标设出其顶点解析式，再将A点坐标代入解析式中求出二次项系数即可得到答案； （2）分别设出点，可得点的坐标为，再用t表示出，然后分当时，当时，求出t的值后，再利用勾股定理的逆定理判新其是否是直角三角形，通过作辅助线利用三角形全等的判定与性质得到对应线段相等，求出t的值后排除以点B为直角顶点的等腰直角三角形的情况，最后即可完成求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点的坐标为， ∴设二次函数的关系式为， ∵二次函数图象经过点， ∴， ∴， ∴，即 ； （2）解： 设点， 设直线的解析式为，则 ∴ ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点关于点成中心对称， ∴点的坐标为， ∴，，； 当时，， ∴或（此时B点位于顶点处，B点与E点重合，与题意不符，故舍去）， ∴； 此时，， ∴； ∴此时为等腰直角三角形， ∴， 其在图中的位置如下图1和图2所示； 当时， ， ∴， ∴， ∴， 此时，， ∵， ∴该情况不成立； 当B点在对称轴右侧且是以点B为顶点的等腰直角三角形时，如图3所示， 过B点作轴，垂足为M，过E点作轴，与直线交于点N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴或6，且，（相互矛盾） ∴该情况不成立； 当B点在对称轴左侧时同理可证不存在以B点为顶点的等腰直角； 综上可得：． 【点睛】本题属于几何中的动点问题，涉及到了一次函数、二次函数、等腰直角三角形、勾股定理、等相关知识，考查了学生对相关知识的理解与应用；本题综合性较强，要求学生有严密的逻辑思维