专题06 二次函数中的线段及周长问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题06 二次函数中的线段及周长问题 1．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设，再将点C的坐标代入求解即可； （2）延长交x轴于点F，证明，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）设， 把代入得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，延长交x轴于点F， 设点，的周长是l， ∵， ∴， ∵， ∴的周长是12， 设直线BC的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式是：， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为， 当时，， ∴． 综上：周长的最大值为，此时点P的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式． 2．如图，抛物线经过和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设动点P得坐标为，则C点得坐标为，进而表示出的长度，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】（1）解：∵、在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， ∵、在直线上， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为， 设动点P得坐标为，则C点得坐标为， ∴， ∵，， ∴当时，当P点坐标为，线段PC有最大且为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点的坐标，可得直线的解析式； （2）过点作轴于点，交直线于点，设点，则，应用二次函数最值可得线段的最大值，证明是等腰直角三角形，可得出，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于和两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）二次函数与轴交于点， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴于点，交直线于点， 设点，则， ， 当时，最大，最大值是． ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的最大值为， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质、二次函数最值的应用等，关键是二次函数性质的掌握． 4．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于两点． (1) ___________， __________； (2)求点B的坐标； (3)点P在直线上方的抛物线上，过点P做直线平行于y轴交直线于点M，求的最大值 (4)直接写出当时，x的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将分别代入两个函数解析式进行计算即可； （2）联立两个函数解析式，解一元二次方程即可； （3）设利用，得到一个二次函数，求最值即可； （4）根据图象，找到抛物线在直线上方时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入：得： ，解得：； 将代入：得： ，解得：； 故答案为：； （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为：， 一次函数的解析式为：； 则：， ∴， 解得：； 当时，， ∴； （3）解：设， ∵P在直线上方， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值为：； （4）解：由图象可知： 当时，抛物线在直线的上方， ∴时：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，根据二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B，C，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，线段的最大值为 【分析】（1）把已知A，C两点坐标代入解b，c的值，求函数解析式； （2）求直线得解析式，设D点的横坐标为