专题11 二次函数中的胡不归-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题11 二次函数中的胡不归 1．如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数的图象上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求取得最大值时点P的坐标； (3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)， (3)(-2，-1) 【分析】（1）先根据一次函数关系式，求出点A、B的坐标，把A、B、C三点的坐标代入，求出a、b、c的值即可； （2）过点P作PD⊥y轴于点D，根据已知条件证明，因此，设，则P点坐标为：，用m表示出，得出当时，有最大值，即可求出点P的坐标； （3）过点C作CK⊥x轴于点K，MN⊥AB于点N，根据已知条件说明，结合∠CFD＋∠ABH＝45°，得出，根据∠GDF＝∠HBO，得出，即可得出BM平分∠ABO，从而可以证明MN=OM，设MN=OM=n，则AM=4-n，根据三角函数，列出关于n的方程，解方程得出n的值，求出直线BM的解析式，根据CG、BM的关系式即可求出H的坐标． （1） 解：把代入得：， ∴点B的坐标为：（0，3）， 把代入得：，解得：， ∴点A的坐标为：（-4，0）， 把A（-4，0），B（0，3），C（1，2）代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2） 过点P作PD⊥y轴于点D，如图所示： ∵点A（-4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∵∠AOB=90°， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则P点坐标为：， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为：， 即取得最大值时点P的坐标为． （3） 过点C作CK⊥x轴于点K，MN⊥AB于点N，如图所示： 设BC的关系式为，把点B（0，3），C（1，2）代入得： ，解得：， ∴BC的关系式为， 设CG的关系式为，把点C（1，2），G（-1，0）代入得： ，解得：， ∴CG的关系式为， 把代入得：，解得：， ∴点D的坐标为：（3，0）， ∴OD=3， ∴OB=OD， ∴， ， ∴=， ∵， ∴ ，， ， ∴， ∵， ∴=， ∴， ∴， 即， ∴， ∵∠CFD＋∠ABH＝45°， ∴， ∵∠GDF＝∠HBO， ∴， ∴BM平分∠ABO， ∵MN⊥AB，MO⊥BO， ∴MN=OM， 设MN=OM=n，则AM=4-n， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴点M的坐标为：， 设直线BM的关系式为，把点B（0，3），M代入得： ，解得：， ∴直线BM的关系式为， 联立，解得：， ∴点H的坐标为：（-2，-1）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，角平分线的性质，求二次函数解析式和一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数，作出辅助线，得出是解决第（2）小问的关键，证明BM为∠ABO的平分线是解决第（3）小问的关键． 2．如图1．抛物线与轴交于A、两点．交轴于点，点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，点为轴上一点，点在轴上，求的最小值； (3)如图2．点是抛物线上一点，为第四象限抛物线上一点，延长交轴于点，连接，点，直线与交于点，点在线段上，且，已知，求点的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3)（3，-1） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点P的坐标为（-4，），过点M作MH⊥BC于H，利用勾股定理求出，根据，得到，则可以推出当P、Q、M、H四点共线且PH⊥BC时，有最小值，求出直线BC的解析式为，设点H的坐标为（m，），则，，，得到，由此求解即可； （3）先求出点D的坐标为（-2，4），过点D作DN⊥x轴于N，则DN=4，NG=4，则∠DGN=45°，从而一处∠BCF=∠FCO，得到CF是∠BOC的角平分线，设CF与x轴的交点为I，过点I作IL⊥BC于L，则IO=IL，CL=CO=8，得到BL=2，设IO=IL=x，则BI=6-x，由，求得点I的坐标为（，0），再根据F是两条直线的交点求解即可． （1） 解：∵．抛物线与轴交于A、两点．交轴于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 （2） 解：当时，， ∴点P的坐标为（-4，）， 过点M作MH⊥BC于H， ∵B（6，0），C（0，8）， ∴OC=8，OB=6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当P、Q、M、H四点共线且PH⊥BC时，有最小值， 设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 设点H的坐标为（m，）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴PH=10， ∴的最小