精品解析：上海交通大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

上海市交通大学附属中学2021-2022学年高一下期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数_____． 2. 若，则实数的取值范围是_______． 3. 函数的最小正周期为______． 4. 若，，成等比数列，则________. 5. 已知数列为等差数列，且，则____． 6. 已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是______． 7. 已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 8. 在锐角中，，则的取值范围是___________. 9. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_______ 10. 古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______． 11. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题： （1）若，，则 （2）若a，b在平面α内，且，，则 （3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交 （4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交 其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号） 12. 已知数列是共有项的有限数列，且满足，若，，，则______． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若复数，则 B 若复数，则 C. 若平面向量，则 D. 若平面向量，则 14. 设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为（ ） A 1011 B. 1012 C. 2021 D. 2022 15. 在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 16. 已知无穷等差数列公差，无穷等比数列公比，则下列关于数列和数列的命题，正确的个数为（ ） ①“等差数列为严格增数列”是“存在正整数，当时，总有”成立的充要条件； ②存在等比数列，使得对任意均有； ③对任意的数列和，关于的方程至多两个解； A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 在长方体中，，，，、分别为线段、上的点，且，． （1）求证：直线与为异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 设复数和，其中是虚数单位，． （1）若，求取值范围； （2）若，且和为某实系数一元二次方程两根，求实数所有取值的集合． 19. 在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． （1）小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； （2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 20. 已知函数对任意实数、都满足，且 （1）当时，求的表达式； （2）设，求数列的最大项； （3）设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 21. 已知为实数，数列满足：①；②． （1）当时，求的值； （2）求证：存在正整数，使得； （3）设是数列前项和，求的取值范围，使数列为周期数列且方程有解（若数列满足：存在且，对任意且，成立，则称数列为以为周期的周期数列）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市交通大学附属中学2021-2022学年高一下期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数纯虚数（为虚数单位），则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题得，解之即得解. 【详解】解：由题得 故答案为： 2. 若，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知极限列出关于实数a的不等式去求解实数的取值范围 【详解】由，可得，解之得 故答案为： 3. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 4. 若，，成等比数列，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题设，，可得. 故答案为： 5. 已知数列为等差数列，且，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质运算求解. 【详解】∵数列为等差数列，则， ∴. 故选：. 6. 已知单位向量，的夹角为，