5.3.2事件之间的关系与运算-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步知识梳理+常考题型（人教B版2019必修第二册)

5.3.2事件之间的关系与运算 题型1 事件的包含与相等 4 题型2 事件运算的含义 7 题型3 事件的和（并）与积（交） 10 题型4 互斥事件与对立事件 12 题型5 计算互斥事件、对立事件等的概率问题 17 知识点一.事件的关系 定义 记法 图示 包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B” （或B“包含A”） 或 相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“ A与B相等”记作A=B.A=BAB且BAA与B有相同的样本点 A=B 互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥， AB=∅或AB=∅ 对立事件 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 =∅,=Ω 知识点二.事件的运算 定义 记法 图示 事件A与事件B的并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B 中 A∪B(或A+B) 事件A与事件B的交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB) 注意：（1）包含关系 ①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C∅（C为任一事件）. ②事件A也包含于事件A，即AA. ③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生. ④AB也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件. （2）相等关系 ①两个相等事件总是同时发生或同时不发生. ②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件. ③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义. ④A=BAB且 BA，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是 B发生的充要条件· （3）和事件 ①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. ②不难看出，A（A+B）且 B（A+B），因此 P（A）≤P（A+B）且 P（B）≤P（A+B），而且，直观上可知P（A+B）与P（A）+P（B）的大小关系为P（A+B）≤P（A）+P（B）. （4）积事件 ①按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生. ②P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B). （5） 互斥与对立的理解 ①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件 同时发生的概率为0. ②用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如果B=，则称A与B 相互对立. 知识点三.事件概率的计算 1. 互斥事件的概率加法公式 当A与B互斥（即AB=∅）时，有P（A+B）=P（A）+P（B）。 推广∶一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P（An）。 2.对立事件的概率公式 每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生。注意到必然事件的概率为1，因此P（A）+P（）=1。变形P（）=1- P（A）。 注意：在应用互斥事件概率加法公式时，一定要注意其前提是涉及 的事件是互斥事件。实际上，对于事件A，B有P（A+B）≤P（A）+P（B），只有当事件A，B互斥时，等号才成立。 知识点四.事件的混合运算 1.（AB）+（AB）表示AB与AB的和，实际意义是∶A发生且B 不发生，或者A不发生且B发生，也可以理解为A与B中恰有一个发生。 2.事件的混合运算律：求积运算的优先级高于求和运算，因此（AB）+（AB）可简写为AB+AB。 题型1 事件的包含与相等 【方法总结】判断事件间关系的方法 （1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的. （2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析. 【例题1】（2022·天津市建华中学高一阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1．（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2．（2022·黑龙江·大庆二中）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的点数是1或2或3 D．表示向上的点数是1或2或3 【变式1-1