第15讲 定比点差法解题赏析-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第15讲 定比点差法解题赏析 结论一： 一般的，设椭圆上两点，若定点满足， 则得到，化简得（*） 由，得 两式相减得 把（*）代入得 化简得 特别地，如果（或），则可以得到方程组，继而求出点坐标，最近几年的浙江高考题中此问题出现比较多． 题1．【2011年.浙江卷.理17】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上，若；则点的坐标是 ． 解析：由知，， 所以， 把，，代入得 化简得， 两式相减得， 化简得，，联立， 解得，代入椭圆求得． 题2.【2018浙江高考17】已知点，椭圆上两点满足，则当_________时，点横坐标的绝对值最大． 答案：5 解：设，由于， 得到，（*）， 由，均在椭圆上可以知道， ，变形得 两式相减得， 把（*）式代入知， 化简得，结合，解得，代入 故 所以，当时，有最大值4，即点B的横坐标的绝对值最大值为2． 题3【2015年北京文20】 已知椭圆：．过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点． （III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 解析：由题意不妨设，，． ． ，． 点差法 ． ． ．又，解得． ，，且，，三点共线． 不妨设，则有． 由得是的等比分线，故． 即直线与直线是平行关系． 小结1：通过前三个例题，我们发现破解这类题的关键是通过方程组求出相应交点的坐标，因此这类题多数是相应定比分点的横坐标或纵坐标为0，如果不为0或者相应的比值不确定，又该如何求解呢？ 结论2： 若,且,则称调和分割，根据定义也调和分割，在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上两点，若存在两点满足,且，则一定有，即两个互相调和的定比分点坐标满足有心曲线的特征方程 题4【2008安徽理】编辑与方法提供：浙江余姚韩水昌 已知椭圆：．过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足．证明：点总在某定直线上． 【解析】设点，，． 由题设，，，，均不为零． 不妨设． 又，，，四点共线，可设，． 由定比分点得到 ． ． 将，坐标代入上式，得到． 即点总在定直线上． 巩固练习 1.已知是双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条双曲线分别交于两点，若,则双曲线的离心率为 解：设，由于， 故 得到，（*）， 由，均在渐近线上可以知道， ，变形得 两式相减得， 把（*）式代入知， 化简得，结合，解得，故 由,得，所以 2.【2018.8七彩阳光】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点，如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为__________ 解：设， 由，得；由，得 所以 （*） 由，变形得 两式相减得 把（*）式代入知故 所以， 所以 3.已知椭圆：．过点的直线与椭圆相交于，两点（，两点可以重合），求的取值范围． 【解析】设点，． 可设，由定比分点得到 ． ． 将点坐标代入上式，得到．又，得到． 由．． 4.如图，椭圆：．过点作直线，分别交椭圆于，，，四点，且直线的斜率为，试判断直线与直线的位置关系． 【解析】设点，，，． 设，则由定比分点得到 又，在椭圆：上， 所以． 又，．三式相加得． 同理，设，可得．两式相减得． 又直线的斜率为，则． ，即．． 5.【2019全国卷理19】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为． （1）若，求直线的方程；（2）若，求． 解：（1）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得： ， 设，故 由抛物线定义可得：，解得． 故直线方程为： （2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得： ，设，故 由可得，可得，带入上式可得， 故直线方程为． 解得：，故． 学科网（北京）股份有限公司 $