第8讲 齐次化与点乘双根法2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第8讲 齐次化与点乘双根法 一、问题综述 （1）齐次化 1．齐次化原理： 若直线与二次曲线相交于，，如图所示， 设点、的坐标分别为、，则，． 现将二次曲线方程齐次化的方法如下： 首先将直线化出“”： 将直线化为截距式； 其次利用“”构建关于、的齐次方程，操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以“”，常数项同乘以“”的平方，则可把二次曲线方程变为： ， 将其化简得： ， 为了简化运算，记，，， 则方程可化为：； 最后我们对该齐次式两边同时除以可得： ， 因为，是直线与二次曲线的交点， 所以点，点满足方程， 因此，是方程的两个根， 由韦达定理可得（）． 2．齐次化适用范围： 由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如： ，，，，，， 前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下： ，，． 这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的． 二、典例分析 类型一：定点在坐标原点的斜率问题 【例1】已知直线交椭圆于，两点，为坐标原点，若，求该直线方程． 【解析】法一（齐次化解法）：设，， 步骤1：构建关于、的齐次式： 将直线变形为代入进行“”的代换得， 整理得； 步骤2：构建关于斜率的方程： 因为，方程两边同除以，得； 步骤3：利用韦达定理转化目标： 易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，故所求直线方程为． 法二（常规解法）： 设，，联立， ①代入②消去得 ， 设，，则 ，， 所以 ， 解得，故所求直线方程为． 【方法小结】本题属于曲线上的两个点与原点连线的斜率之和为定值（斜率之积为定值也可以用本法）问题，通过对直线变形，采取“”的巧用，一般二次方不变，一次方项直接乘以“”，常数项乘以“”的平方，从而构建关于，的二元二次的齐次方程，再两边同时除以得到一个是以原点与曲线上连线的斜率为根的一元二次方程，再借助韦达定理使得问题运算得到简化，我们把这种操作手法称之为“齐次化”． 推论1：已知直线交椭圆 于，两点，为坐标原点，若，则该直线的斜率为． 推论2：已知直线交双曲线 于，两点，为坐标原点，若，则该直线的斜率为． 推论3：已知直线交抛物线 于，两点，为坐标原点，若，则该直线的斜率为． 变式训练1：已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点． 【证明】因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即． 设，，则，． 将直线变形得，记，，则直线可化为， 将“”代入抛物线的方程得，整理得， 因为，方程两边同除以，得， 易知和是方程的两个根， 由韦达定理得，即， 代入求直线方程得，即， 当时，，故直线恒定过点． 类型二：定点不在坐标原点的斜率问题（平移坐标系） 【例2】已知椭圆过点，两个焦点为，． （I）求椭圆的标准方程； （II），是椭圆上的两个动点， （1）如果直线的斜率与的斜率之和为，证明直线恒过定点； （2）如果直线的斜率与的斜率之积为，证明直线恒过定点． 【分析】本题定点不再是坐标原点，若坐标系原点平移到与重合，则问题就转化为定点为坐标原点的类型，则可以采取类型一的齐次化解法． 【解析】（I）椭圆的标准方程为，过程略； （II）法一：（平移构造+齐次化）平移坐标系． 【解析】平移坐标系，使得坐标原点和点重合，则，得新坐标系中， 在新坐标系中，椭圆方程为，化简得 ①， 直线平移后变为，其方程不妨设为，代入①构建齐次式得 ， 整理得 ， 两边同除以 得 ②， 易知和是方程②的两个根，由韦达定理得 ， 化简得，代入直线得，整理得 ， 直线恒过和直线的交点， 则直线恒定过点． (2) ，即，直线的方程为， 直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点． 法二：（平移构造+齐次化）平移直线和平移椭圆． 【解析】设直线的方程为，即，变形得， 将椭圆变形为 展开整理得， 将直线进行“”的代换得 ， 去分母化简得 ， 等式同除以得 ， 因此是方程的实数根，设，， 则和是方程的两个实数根，① 由韦达定理得：，即，即， 代入直线的方程得， 所以直线恒定过定点． ②由韦达定理得，所以， 代入直线的方程为， 所以直线恒定过定点． 法三：（常规解法）． 【解析】设，，直线的方程为，联立得 ， 由韦达定理得 ，． 由题意知，，即， 去分母得 ，整理得 ， 代入韦达定理得 ， 去分母整理得，即， 即，即， 故，或． 当时，直线恒过定点； 当时，直线的方程为恒过定点与点重合，不符合题意，舍去． 综上：直线恒过定点． 【方法小结】解法三是常规方法，需要较强代数恒等变形能力；解法一和解法二通过平移构造二元二次齐次式，使得运算难度大大降低，及时处理的过程有所不同．对于曲线上两个点与定点连线斜率问题，当定点不