第二章有理数及其运算——相反数和绝对值 讲义 2022—2023学年北师大版数学七年级上册

2.2 相反数和绝对值

一．知识盘点

⒈ 相反数定义

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2. 相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0；

⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则== -1(a0,b0).

3. 多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

4. 绝对值定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

5. 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

6. 绝对值的代数意义

⑴正数的绝对值是它本身；

⑵负数的绝对值是它的相反数；

⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；

                ②如果a<0，那么|a|=-a； 

 ③如果a=0，那么|a|=0。

7. 绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。

(1)0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0。即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

8. 有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

 

二．技能提升

(一)相反数的数形结合思想及表示一个字母的相反数

1. 相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数;

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

2. 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

3. 求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；

4. 求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) ．