第二章有理数及其运算——有理数和数轴 讲义 2022—2023学年北师大版数学七年级上册
⒈ 正数和负数的概念
负数：比0小的数 ; 正数：比0大的数; 0既不是正数，也不是负数.
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.“0”表示的意义
⑴“0”表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵“0”是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
4.有理数的分类：
（1）按符号分类
有理数
（2）按定义分类
有理数
5.数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
6.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示， 负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
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7.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
8.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
注意：
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
⑶同一数轴上的单位长度要统一；
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
(一).有理数的概念深层理解
1.字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断。
2.正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
3.正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负
4. 只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
(二).数轴的数形结合思想
1.在数轴上两点之间的距离可用大数减小数表示。
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在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式
，这两个公式选择哪个都一样。
2.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
专项训练一：正负数的理解及判断
1.下列说法正确的是( )
A.一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B.非负数就是正数；
C.一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D.0既不是正数也不是负数；
2.把下列各数填在相应的大括号中 ：8，
，0.125，0，
，
，
，
正整数集合
整数集合
负整数集合 正分数集合
3.如果向南走
米记为是
米，那么向北走
米记为是 ____________, 0米的意义是______________。
4.对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么
克表示
_________________________
5.若
，则
是 ；若
，则是 ；若
，则
是 ；若
，则是 ；（填正数、负数或0）
6.若-a不是负数，那么a一定是（ ）。
A.负数 B.正数 C.正数和零 D.负数和零
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