1.4 空间向量的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 数学 学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核心素养. 3.培养学生的作图能力和空间想象能力,增强学生应用数学的意识,强化直观想象的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 动手旋转一个圆盘陀螺,可以发现该陀螺随着轴一起转动时,圆盘平面时而水平,时而倾斜,在不断改变方向,陀螺的轴虽在不断改变方向,但始终与圆盘垂直. 探究:(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向吗? 答案:(1)能,因为轴始终与圆盘平面垂直,轴的方向即唯一确定圆盘平面的方向. (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量来刻画平面的方向吗? 答案:(2)不能.平面上的某一条有向线段代表的向量与平面的方向不唯一确定. 数学 知识探究 方向 数学 (3)空间平面的向量表示式. 取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 . ③ 把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定. 不共线 (4)平面的法向量. 直线l⊥平面α,取直线l的 向量a,我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 . 方向 法向量 数学 思考1:若向量n1,n2为某一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线是否一定平行? 答案:不一定,以这两个向量为方向向量的直线可以是同一条直线. 2.空间中直线、平面的平行 (1)两直线平行的判定方法. 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则 l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . (2)直线和平面平行的判定方法. 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔ ⇔ . u1∥u2 u1=λu2 u⊥n u·n=0 数学 (3)平面和平面平行的判定方法. 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 α∥β⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . 思考2:若直线l的方向向量m和平面α的法向量垂直,则l是否与平面α平行? 答案:l与α不一定平行,有两种情况:l⊂α或l∥α. n1∥n2 n1=λn2 数学 做一做1:若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是(　　) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) D 解析:若l∥α,则a·n=0,逐一验证可知,选项D中,a·n=1×0+(-1)×3+3× 1=0,所以a⊥n.故选D. 数学 3.空间中直线、平面的垂直 (1)两直线垂直的判定方法. 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则 l1⊥l2⇔ ⇔ . (2)直线和平面垂直的判定方法. 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则 l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . (3)平面和平面垂直的判定方法. 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 α⊥β⇔ ⇔ . u1⊥u2 u1·u2=0 u∥n u=λn n1⊥n2 n1·n2=0 数学 思考3:(1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗? 答案:(1)不垂直. (2)若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗? 答案:(2)垂直. 数学 做一做2:已知平面α与平面β垂直,若平面α与平面β的一个法向量分别为u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为　　　　.  解析:因为平面α与平面β垂直,所以平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直,所以u·v=0,即-1×t+0×5+5×1=0,解得t=5. 答案:5 数学 师生互动·合作探究 探究点一 直线的方向向量 (1)AA′; 数学 数学 (2)BD′. 数学 方法总结 (1)直线的方向向量为非零向量. 数学 数学 数学 探究点二 求平面的法向量 数学 数学 方法总结 设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面α的法向量为v=(a2