1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 数学 学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,提升数学抽象的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 在一条直线上可以建立数轴,将每个点的位置用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立平面直角坐标系,将每个点的位置用两个实数组成有序实数对(x,y)来表示. 探究:(1)在空间中怎样表示每个点的位置呢? 答案:(1)用三个实数组成的有序实数组(x,y,z)来表示每个点的位置. 数学 在一条直线上可以建立数轴,将每个点的位置用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立平面直角坐标系,将每个点的位置用两个实数组成有序实数对(x,y)来表示. 探究:(2)如图,如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P? 答案:(2)先说明飞机在海面上点P′的上空,再说明飞机在海面上空的高度P′P.如图,将海面看成一个平面,从飞机在空中所在位置向海平面作垂线PP′,垂足为P′,则飞机在P′上空.为了刻画P′在海平面上的位置,在海平面上建立平面直角坐标系,则P′可以由它在这个坐标系中的坐标(x,y)来刻画.又由于飞机在海平面上空的高度PP′=z是一个实数,因而将x,y,z这三个实数组成有序实数组(x,y,z),它就刻画了飞机的位置P,称之为点P的坐标. 数学 知识探究 1.空间直角坐标系的建立 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做 ,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成 个部分. 思考1:空间直角坐标系的三个要素是什么? 答案:原点、坐标轴方向、单位长度. 坐标轴 坐标向量 坐标平面 八 数学 横 纵 竖 数学 a=(x,y,z) 思考2:如果点P不在三个坐标平面内,如何确定它的坐标? 答案:如图,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A,B,C.设交点A,B,C在x轴、y轴和z轴上的坐标分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按顺序排成一组(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).即得到点P的坐标. 数学 做一做1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示建立空间直角坐标系.则点F的坐标是　 ;  点E的坐标是　　　　.  解析:点F在y轴上,DF=1.所以点F的坐标是(0,1,0);点E在Oxy平面上的射影是点B,点B的坐标是(2,2,0),又因为BE=1.所以点E的坐标是(2,2,1). 答案:(0,1,0)　(2,2,1) 数学 思考3:给定一点P的坐标,即P(x,y,z),如何在空间直角坐标系下确定这个点? 答案:给定点P(x,y,z),在x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为x,y,z的点A,B,C,过这三点分别作一个垂直于x轴、y轴和z轴的平面,则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)所确定的点P. 空间中的点P与有序实数组(x,y,z)之间可以建立一一对应关系. 数学 做一做2:点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　 　) A.y轴上 B.Oxy平面上 C.Ozx平面上 D.第一象限内 解析:点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Ozx平面上.故选C. C 数学 师生互动·合作探究 探究点一 空间直角坐标系 [例1] 长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为AB=8,AD=3,AA′=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标. 解:如图,以A为原点,分别以直线AB,AD,AA′为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则点A,B,C,D都在平面Axy内,因而其竖坐标z都为0,因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0). 数学 由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内.又AA′=5,所以这四点的竖坐标z都是5.又过A′,B′,C′,D′分别作Axy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y相同. 因此A′