1.1 空间向量及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 数学 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,达成数学抽象的核心素养. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养. 3.掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 小明从学校回家,需先从学校大门口骑上自行车向北行驶1 000 m,再向东行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m 到5楼的住处.在这个过程中,小明从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示). 探究:(1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗? 答案:(1)不是. (2)如何刻画小明同学行驶的位移? 答案:(2)借助于空间向量的运算. 数学 知识探究 1.空间向量 (1)定义. 在空间,把具有 和 的量叫做空间向量. (2)长度或模. 空间向量的大小叫做空间向量的 或 . 大小 方向 长度 模 数学 (3)表示方法. 有向 |a| (4)特殊的空间向量. ①零向量:规定长度为 的向量叫做零向量,记为0. ②单位向量:模为 的向量叫做单位向量. 0 1 数学 (5)空间向量的位置关系. ①相反向量:与向量a长度 而方向 的向量叫做a的相反向量,记为-a. ②相等向量:方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间, 且 的有向线段表示同一向量或 向量. ③共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 相等 相反 相同 相等 同向 等长 相等 平行 重合 数学 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法、数乘运算的定义. 把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法(图1)以及数乘运算(图2): 0 数学 (2)运算律. 空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ,μ∈R): 交换律:a+b= ; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)= ; 分配律:(λ+μ)a= ,λ(a+b)= . (3)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和 . 思考1:λ∈R,向量a≠0,则向量λa的方向、模与向量a的方向、模之间分别有什么关系? 答案:①λ>0时,向量λa的方向与向量a的方向相同,λ<0时,向量λa的方向与向量a的方向相反,λ=0 时,λa为0,方向是任意的. ②λa的模为|λa|=|λ|·|a|,即向量a的模的|λ|倍. b+a (λμ)a λa+μa λa+λb 不变 数学 做一做1:如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量的表达式. 数学 3.向量共线与向量共面的充要条件 (1)向量共线的充要条件. 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 . a=λb λa 非零 方向向量 方向向量 数学 平行 重合 平行 共面向量 数学 (4)向量共面的充要条件. 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 . p=xa+yb 答案:①当λ+μ=1时,A,B,P三点共线. 数学 答案:(3)共面. 答案:(1)共面. 答案:(2)共面. 数学 做一做2:对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(　 　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析:因为2a-b=2·a+(-1)·b, 所以2a-b与a,b共面.故选A. A 数学 师生互动·合作探究 探究点一 空间向量的概念 数学 解析:①真命题.根据向量相等的定义,可知两个相等的向量若起点相同,终点必相同,只有这样才能保证它们的方向和大小都相同. ③真命题.相等向量满足传递规律. ④真命题.根据零向量的定义可知正确.故选D. 数学 方法总结 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素. 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系. ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件; ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是