第5章 2 实际问题中的函数模型-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§2　实际问题中的函数模型 2.1　实际问题的函数刻画 2.2　用函数模型解决实际问题 学习目标 1.体会实际问题中建立函数模型的过程,进一步掌握常用的函数模型,培养数学抽象的核心素养. 2.通过建立函数模型解决实际问题的过程,培养数学建模的核心 素养. 　　某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件.于是商场经理决定每件衬衫降价15元.那么经理的决定正确吗?这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决. 1.常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=(k为常数,k≠0) 2.建立函数模型解决实际问题的步骤 (1)确切理解题意,明确问题的实际背景,进行科学的抽象、概括,将实际问题转化为数学问题; (2)建立相应的函数模型; (3)求解函数模型,得出数学结论; (4)将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义,并进行验证,看是否符合实际. 　利用图象刻画变化过程 [例1] 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述正确的是(　　) A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析:根据图象知消耗1 L汽油,乙车最多行驶路程大于5 km,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80 km/h的速度行驶时燃油效率为10 km/L,行驶1 h,路程为80 km,消耗8 L汽油,故选项C错误;最高限速80 km/h,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.故选D. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际情况的答案. 针对训练:设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 解析:y为此人从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C;又因为此人在乙地休息10分钟,故排除B.故选D. 　构建函数模型解决实际问题 角度1　二次函数、分段函数模型 [例2] 已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)= (1)写出年利润f(x)(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 解:(1)利用利润等于收入减去成本可得当0<x≤40时,f(x)=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40; 当x>40时,f(x)=xR(x)-(16x+40)=--16x+7 960. 所以f(x)= (2)当0<x≤40时,f(x)=-6x2+384x-40=-6(x-32)2+6 104, 所以当x=32时,f(x)max=f(32)=6 104; 当x>40时,f(x)=--16x+7 960≤ -2+7 960=6 040, 当且仅当=16x, 即x=60时,f(x)max=6 040. 因为6 040<6 104, 所以当年产量为32万部时,利润最大,最大利润为6 104万元. (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型;分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). (2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数