第4章 对数运算与对数函数 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

章末总结 [知识辨析] 判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.任何指数式都可以化为对数式.(　×　) 2.loga(xy)=logax+logay(a>0,且a≠1).(　×　) 3.函数y=x与函数y=logaax是同一个函数.(　√　) 4.同底数的指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称.(　√　) 5.不论a(a>0,且a≠1)取何值,函数y=loga(x-1)必过定点(1,0).(　×　) 6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快.(　×　) 7.当x很大时,函数y=·2x的增长速度比y=x200的增长速度快.(　√　) 8.函数y=lox衰减的速度越来越慢.(　√　) 题型一　对数的运算性质 [例1] 求下列各式的值: (1)lg -lg +lg ; (2)已知2lg =lg x+lg y,求lo; (3)log25·lo4+(lg 5)2+lg 2·(lg 5+1). 解:(1)原式=(lg 32-lg 49)-lg +lg 24 =(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+lg 7+lg 5 =lg 2-2lg 2+lg 5 =(lg 2+lg 5)=. (2)由已知得lg()2=lg (xy), 所以()2=xy,即x2-6xy+y2=0, 因为y≠0,所以()2-6()+1=0, 所以=3±2. 因为所以>1, 所以=3+2, 所以lo=lo(3+2)= lo=-1. (3)log25·lo4+(lg 5)2+lg 2·(lg 5+1) =log25·(-log54)+(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =log25·(-2log52)+lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2 =-2+lg 5·lg 10+lg 2=-2+lg 5+lg 2 =-2+lg 10=-2+1=-1. 利用对数运算性质的求解方法: (1)应用对数的运算性质,可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算. (2)利用对数的运算性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系. 题型二　对数(型)函数的图象与应用 [例2] (1)函数y=ln(2-|x|)的图象大致为(　　) (2)已知函数f(x)=x2-logmx在区间(0,)上恒有f(x)<0成立,则实数m的取值范围为　　　　　.  解析:(1)令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2<x<2},且f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除C,D; 当x=时,f()=ln<0,排除B.故选A. (2)要使函数f(x)=x2-logmx在区间(0,)上恒有f(x)<0成立,则有x2<logmx在区间(0,)上恒成立,则有0<m<1.在同一平面直角坐标系中作出y=x2和y=logmx的图象(如图所示).因为当x=时,ymax=x2=,所以只需y=logm≥=logm,所以≤,即≤m.又因为0<m<1,所以≤m<1,所以实数m的取值范围是[,1). 答案:(1)A　(2)[,1) (1)研究对数型函数图象的方法:研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1这两种不同情况. (2)求解与对数型方程、不等式有关的恒成立问题,常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 题型三　对数函数的性质 [例3] (1)已知a=log36, b=log510, c=log714,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a (2)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析:(1)因为a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,且log32>log52>log72,所以a>b>c.故选B. (2)法一　因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e=a>1,所以c>a>b.故选D. 法二　lo=log23,如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,由图知c>a>b.故选D. 对数函数大小比较的一般规律 (1)当底数相同时,用对数函数的性质直接比较. (2)当底数不同,真数相同时,用图象作比较. (3)当底数和真数都不相同时,常找一个“中间变量”统一底数或真数,常用“0”或“1”作为中间量. (4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的范围,或利用作差(或