第2章 函数 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

章末总结 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [知识辨析]判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.(　√　) 2.函数y=f(x)(x∈A)的图象的集合表示形式为{(x,y)|y=f(x),x∈A}.(　√　) 3.若两个函数的定义域、值域分别相同,则函数是同一个函数.(　×　) 4.函数y=f(x)是偶函数时,其定义域一定关于原点对称.(　√　) 5.函数y=f(x)是奇函数的充要条件是f(0)=0.(　×　) 6.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种.(　×　) 7.幂函数的图象都过点(1,1).(　√　) 题型一　函数的概念与表示 [例1] 已知函数f(x)对任意x满足3f(x)-f(2-x)=4x,一元二次函数g(x)满足g(x+2)-g(x)=4x,且g(1)=-4. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立,求n-m的最大值. 解:(1)由3f(x)-f(2-x)=4x,① 得3f(2-x)-f(x)=8-4x,② 联立①②,可得f(x)=x+1. 设g(x)=ax2+bx+c(a≠0), 所以g(x+2)-g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-ax2-bx-c=4x, 即4ax+4a+2b=4x, 所以解得a=1,b=-2. 又g(1)=-4,得c=-3, 所以g(x)=x2-2x-3. (2)令f(x)≥g(x), 即x+1≥x2-2x-3, x2-3x-4≤0, 解得-1≤x≤4, 所以当x∈[-1,4]时,f(x)≥g(x). 若x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立, 可得n-m≤4-(-1)=5, 即n-m的最大值是5. 求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法.若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可. (2)换元法.设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可. (3)配凑法.对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (4)方程组法(或消元法).当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解. 提醒:应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性. 题型二　函数性质的综合应用 [例2] 已知f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,且f(-5)=-2,若对任意的m,n∈[-5,5],m+n≠0,都有>0. (1)若f(2a-1)<f(3a-3),求实数a的取值范围; (2)若不等式f(x)≤(a-2)t+5对任意x∈[-5,5]和a∈[-3,0]都恒成立,求实数t的取值范围. 解:(1)设任意x1,x2满足-5≤x1<x2≤5,由题意可得 f(x1)-f(x2)= (x1-x2)<0, 即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在定义域[-5,5]上为增函数, 由f(2a-1)<f(3a-3), 得解得2<a≤,故实数a的取值范围为(2,]. (2)由(1)知f(x)是定义在[-5,5]上单调递增的奇函数,且f(-5)=-2,则在[-5,5]上f(x)max=f(5)=-f(-5)=2. 在[-5,5]上不等式f(x)≤(a-2)t+5恒成立, 所以2≤(a-2)t+5,即at-2t+3≥0对a∈[-3,0]恒成立, 令g(a)=at-2t+3,a∈[-3,0], 则只需即解得t≤. 故实数t的取值范围为(-∞,]. (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,重点是利用好奇偶函数的概念及对称性、函数的单调性及最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值的应用. (3)涉及与函数有关的不等式恒成立问题,应转化为最值问题求解. 题型三　函数的图象及应用 [例3] 已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x.求x∈[-3,5]时,f(x)=的所有解的和. 解:当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 所以f(-x)=-x. 又因为f(x)为奇函数, 所以x∈[-1,0]时,f(x)=-f(-x)=x. 即x∈[-1,1]时,f(x)=x. 又由f(x)=f(2-x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称. 由此可得f(x)在[-3,5]上的图象,如图所示. 在同一平面直角坐标系内作出y=的图象, 由图可知两图象在[-3,5]上共有四个交点, 所以f(x)=在[-3,5]上共有四个解,从左到右依次记为x1,x2,x3,x4,则x1与x4,x2与x3关于直线x=1对称, 所以=1,=1. 所以x