专题14.1 一线三等角模型（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题14.1 一线三等角模型 【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A． （1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E． ①依题意补全图1； ②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 　 　． 【思路点拨】 （1）①由题意画出图形即可； ②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答． 【解题过程】 解：（1）①依题意补全图形如图1所示． ②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE． 证明：∵CE⊥l，BD⊥l， ∴∠CEA＝∠ADB＝90°． ∴∠ECA+∠CAE＝90°． ∵∠BAC＝90°，直线l过点A， ∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°． ∴∠ECA＝∠BAD． 又∵AC＝AB， ∴△CEA≌△ADB（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD． ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． （2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE， 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角， ∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE． 故答案为：DE＝BD+CE． 1．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（　　） A．75° B．80° C．65° D．95° 2．（2021秋•南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE 3．（2021秋•邗江区期中）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（　　） A．18 B．26 C．28 D．34 4．（2021秋•德州期中）如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 　 　度．（用含α的代数式表示） 6．（2021春•香坊区期末）如图，A、E、B三点共线，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，则∠CEF的度数为 　 　°． 7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 　 　． 8．（2020•南关区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝4，则DM＝　 　． 9．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长． 10．（2021秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长． 11．（2022•麻栗坡县校级模拟）如图，点A、E、C在同一条直线上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE． 求证：AB＝CE． 12．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由． 13．（2021秋•沙河口区期末）在△ABC中，AB＝AC，AB＞