第3章 3.3 函数的应用(一)-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

3.3　函数的应用(一) 数学 学习目标 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.通过建立函数模型解决实际问题,培养数学建模的核心素养. 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.借助实际问题中的最值问题,提升数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.常见的函数模型 (1)一次函数模型. (2)二次函数模型:二次函数的最值问题是高考中的永恒话题,现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数. (3)分段函数模型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此这种模型的应用也比较广泛. 数学 思考1:一次、二次函数模型的定义域都是全体实数,在实际应用问题中,定义域一定是全体实数吗? 答案:不一定,要根据应用问题中的自变量的实际意义确定. 思考2:用均值不等式求最值适用的条件是什么? 答案:(1)代数式中各项必须都是正数. (2)代数式中含变数的各项的和或积必须是常数. (3)等号成立的条件必须存在. 数学 2.函数应用问题的解法流程 思考3:如何建立函数模型刻画函数? 答案:首先,要认真阅读材料.应用题多是“文字语言、符号语言、图形语言”并用的,往往篇幅较长.理解题目中的量与量的关系,确立解题思路,对于有些数量关系较复杂、模糊的问题,可以借助画图和列表来厘清关系. 其次,建立函数关系.根据前面的阅读及分析,把实际问题用“字母符号、关系符号”表达出来,建立函数关系. 数学 思考4:如何解不等式应用题? 答案:解不等式应用题的步骤: 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] 某校高一(2)班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价 x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示关系. 一次、二次函数模型的应用 (1)求y关于x的函数关系式; 数学 数学 [例1] 某校高一(2)班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价 x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示关系. (2)当a=120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一种更少?说明你的理由; 数学 解:(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120=6 120(元). 当y=380时,380=-40x+720,得x=8.5, 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5+228=3 458(元), 所以饮用桶装纯净水的年总费用少. 数学 [例1] 某校高一(2)班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价 x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示关系. (3)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用? 数学 解:(3)设该班每年购买桶装纯净水的费用为P元, 则P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240, 所以当x=9时,Pmax=3 240. 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用, 则51a≥Pmax+228,解得a≥68,故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用. 数学 方法总结 (1)用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点 ①原则:一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下按照“问什么,设什么,列什么”的原则来处理,求解过程也较简单. 数学 (2)利用二次函数求最值的方法及注意点 ①一般方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. ②注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 数学 针对训练:某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5 m3污水排出.为了净化环境,工厂设计了两个污水处理方案,并准备实施