第3章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第一课时　方程的根与函数的零点 数学 学习目标 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系.会求函数的零点.借助函数零点概念的理解,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握函数与方程、不等式之间的关系,并会用函数零点法求不等式的解集.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习,培养逻辑推理的核心素养,利用零点法求不等式的解集,提升数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.函数的零点 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称 .为函数y=f(x)的零点,α是函数f(x)零点的充分必要条件是,(α,0)是函数图像与x轴的公共点. α 数学 思考1:函数的零点是一个点吗?任何函数都有零点吗? 思考2:设F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的零点与函数y=f(x),y=g(x)有何关系? 答案:F(x)的零点是函数y=f(x)与y=g(x)的图像的交点的横坐标. 数学 2.二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 数学 思考3:二次函数f(x)=ax2+bx+c中,二次项系数a<0时,怎样求不等式f(x)>0的解集? 答案:对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式,可以先把二次项系数化成正数,再求解;也可以画出二次项系数为负数时的函数图像,再求解. 3.函数零点的性质 (1)当函数图像通过零点,且穿过x轴时,函数值 . (2)两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值 . 变号 保持同号 数学 拓展总结 (1)函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,亦即该函数的图像与x轴交点的个数. 数学 (2)函数的对称性与函数零点之和 已知x0为函数f(x)的零点. ①若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0. ②若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0. ③若函数f(x)的图像关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n个零点,则该函数所有零点之和为2nb. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] 求下列函数的零点. 函数的零点 数学 数学 解:(2)令x3-2x2-x+2=0, 得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0, 解得x=-1或x=1或x=2, 所以函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2. [例1] 求下列函数的零点. (2)f(x)=x3-2x2-x+2. 数学 方法总结 求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 数学 针对训练:求下列函数的零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; 数学 针对训练:求下列函数的零点. 数学 数学 探究点二 函数零点个数的判断 解:(1)由f(x)=0,即x2-7x+12=0, 得Δ=49-4×12=1>0, 所以方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4. 所以函数f(x)有两个零点. [例2] 判断下列函数零点的个数. (1)f(x)=x2-7x+12; 数学 [例2] 判断下列函数零点的个数. 数学 数学 方法总结 判断函数零点个数的三种方法 (1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数. (3)转化为两个函数图像交点问题. 数学 针对训练:判断函数y=x3-3x2-2x+6的零点个数. 数学 数学 探究点三 二次函数零点问题 探究角度1　解一元二次不等式问题 [例3] 利用函数求下列不等式的解集: (1)x2-5x-6>0; 解:(1)方程x2-5x-6=0的两根分别为x1=-1,x2=6.所以函数的零点是-1,6, 结合二次函数y=x2-5x-6的图像(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. 数学 [例3] 利用函数求下列不等式的解集: (2)(2-x)(x+3)<0; 解:(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0的两根分别为x1=2,x2=-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图像(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. 数学 [例3] 利用函数求下列不等式的解集: (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 数学