专题14.6 因式分解的应用（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题14.6 因式分解的应用 【典例1】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如： 分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4， ＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）， 例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值， 2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8． 可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　； （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值． 【思路点拨】 （1）将多项式加4再减4，利用配方法可得； （2）将多项式配方后可得结论； （3）将多项式配方后可得结论． 【解题过程】 解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）， 故答案为：（m+1）（m﹣5）． （2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5， ∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5； （3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20 ＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+10 ＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+10， ∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值10． 1．（2021春•长安区期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，5，x2﹣y2，a，x+y，a2﹣ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（　　） A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会 2．（2021秋•博兴县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．6 3．（2021秋•泉州期末）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3 4．（2021春•永嘉县校级期末）已知x3+x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 5．（2021秋•如皋市校级月考）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（　　） A．0 B．1 C．2020 D．2021 6．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2021春•南京月考）若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值　 　． 8．（2021春•鄞州区校级期末）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是　 　． 9．（2020秋•卫辉市期末）若△ABC的三边长是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则这个三角形形状是　 　三角形． 10．（2020秋•九龙县期末）若a2+a﹣1＝0，则a4+a3﹣2a2﹣a+2016的值为　 　． 11．（2020秋•崇川区期末）已知实数m，n满足n＝km+3，（m2﹣2m+5）（n2﹣4n+8）＝16，则k＝　 　． 12．（2021春•奉化区校级期末）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　． 13．（2021秋•二道区校级月考）已知两个数a，b（a＞b），若a+b＝4，a2+b2＝10，求a2b﹣ab2的值． 14．（2021秋•潮安区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，c＝3cm，求△ABC的周长． 15．（2021春•广陵区校级期中）阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为a的小正方形卡片（A类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片