精品解析：上海市七宝中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

上海市七宝中学2021-2022学年高一下期末考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 2. 若复数满足，则虚部为___. 3. 若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______． 4. 将复数化为三角形式：______． 5. 若正四棱柱底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为______． 6. 如下图所示，梯形是水平放置平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则四边形的面积是_____． 7. 正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的大小的取值范围是_______． 8. 已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是______． 9. 已知正六棱柱各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从沿表面移动到时，其最短路程为______． 10. 有以下4个命题：（1）底面是正多边形棱锥是正棱锥，（2）侧棱和底面所成的角都相等，侧面和底面所成锐二面角也都相等的三棱锥是正三棱锥，（3）底面是正方形，侧面都是等腰三角形的棱锥是正四棱锥，（4）四个面都是全等三角形的四面体是正四面体．其中正确的命题有_______．（写出所有正确的序号） 11. 在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 12. 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线与成角时，与成角； ②当直线与成角时，与成角； ③直线与所成角最小值为； ④直线与所成角的最大值为． 其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号) 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 设，则是为纯虚数的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 15. 非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ） A. 、、三点共线 B. 是直角三角形 C. 是等边三角形 D. 以上都不对 16. 已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转，且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线． （1）请你用异面直线判定定理证明该结论； （2）请你用反证法证明该结论． 18. 如图，四棱柱的底面是正方形，O为底面中心，面， . （1）证明：； （2）求直线AC与平面所成的角的大小. 19. 如图，是棱长为1的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于． （1）设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； （2）当最小时，求异面直线与所成角的大小． 20. 对于任意的复数，定义运算为． （1）设集合{均为整数}，用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）问：直线上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点对应的复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 21. 圆锥的轴截面为等腰，为底面圆周上一点． （1）若的中点为，，求证：平面； （2）如果，，求此圆锥的侧面积； （3）如果二面角的大小为，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市七宝中学2021-2022学年高一下期末考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 【答案】3 【解析】 【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案. 【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面. 故答案为：3. 2. 若复数满足，则的虚部为___. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果. 【详解】 因此的虚部为. 【点睛】本题考查复数的虚部、模以及除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆