4.3.1等比数列的概念（第一课时）（教案+练习）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）

等比数列的概念第一课时 1.课时教学内容 等比数列的概念 2.课时学习目标 (1) 能说出等比数列、等比中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等比数列； (2) 会用等比数列的通项公式解决简单问题； 3.教学重点与难点 重点∶等比数列及等比中项的概念。 难点∶等比数列的函数特征及综合运用。 4.教学过程设计 环节一 情景引入 问题1：我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 观察下列数列，回答后面的问题。 1、两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: ① ② ③ 2、《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ④ 3、在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 4、某人存入银行元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 我们得到以下数列： ……………………………………………① ……………………………… ② ……………………………………………③ ……………………………………………④ 2,4,8,16,32,64,… ……………………………………⑤ ……⑥ 追问1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 等比数列的概念 文字语言 如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 2 ；前一项 ；同一个常数 ；常数 ；d 答：对于数列①，那么有 对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数9。 同样数列②-⑥均满足从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。 环节二 学习新知： 追问2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )． 符号语言： ． 对定义的理解： 等比数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数” 等差数列 等比数列 条件 从第2项起 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 这个数列就叫做等比数列 有关 概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示 追问3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？ 等差数列 等比数列 由三个数组成等差数列，这时，叫做b的等差中项，根据等差数列定义可知： 由三个数组成等比数列，那么叫做b的等比中项，由等比数列定义可知： 问题2：有等比数列定义，判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比 (1) 不是 (2) 不是 (3) 是，公比为 (4) 是，公比为 (5) 当时不是，时是，公比为。 问题3：你能回忆出由等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得= 所以=, =, =,… 于是 +, +=(+)++2, +=(+)++3, …… 归纳可得+()(n) 当n时，上式为+()，这就是说,上式当时也成立。 因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+() 追问1：请你根据等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，推导等比数列通项公式？ 设一个等比数列的为,根据等比数列的定义，可得 所以 , =(), =() …… 归纳可得(n) 又，这就是说，当n时，上式也成立。 因此，首项为,公比为的等比数列的通项公式为 追问2：除了这种方法外，我们还用什么样的方法推导等差数列得通项公式？类比这个