9.2 第2课时 解三角形在实际测量中的应用（二）（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

训练四　解三角形在实际测量中的应用（二） [对应素能提升训练第8页] 1.从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为 （　　） A.α＋β B.α－β C.β－α D.α 解析　如图可知，山顶的仰角为β－α. 答案　C 2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面ABO的下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝30°，A地测得最高点H的仰角为∠OAH＝45°，则该仪器的垂直弹射高度CH为 （　　） A.210米 B.210米 C.（210＋210）米 D.420米 解析　设BC＝x，所以AC＝x＋40，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100，所以，x2＝1002＋（x＋40）2－2×100×（x＋40）×cos 60°，即x＝380，AC＝x＋40＝420.在Rt△AOC中，∠OAC＝30°，所以OC＝210，OA＝210.又在Rt△AOH中，∠OAH＝45°，所以OH＝OA＝210，因此CH＝OC＋OH＝210＋210. 答案　C 3.（2022·新都高二期末）在△ABC中，B＝，AB＝2，BC边上的中线AD的长度为2，则△ABC的面积为 （　　） A.2 B.4 C.12 D.8 解析　∵B＝，AB＝2，BC边上的中线AD的长度为2，∴根据余弦定理可得cos B＝，即BD2－2BD－8＝0，解得BD＝4，∴BC＝8，∴△ABC的面积为S△ABC＝BA·BCsin B＝×2×8×＝4. 答案　B 4.（2022·郑州高二月考）如图所示，点A是等边△BCD外一点，且∠BAD＝，AD＝2，BD＝2，则△ABC的周长为 （　　） A.2 B.4＋2 C.6＋2 D.4＋2 解析　在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ，整理可得AB2＋2AB－8＝0，解得AB＝2，即AB＝AD，∴∠ABD＝.又△BCD是等边三角形，∴∠ABC＝.又BC＝BD＝2，由勾股定理可得AC＝4，∴△ABC的周长为6＋2. 答案　C 5.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为 （　　） A.4 B.4 C.8 D.4 解析　因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以cos∠ADC＝＝，因此cos∠ADB＝－，所以sin∠ADB＝.又B＝45°，DA＝7，由正弦定理可得＝，所以AB＝＝＝4. 答案　D 6.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝　　　　.  解析　在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈（0，π），所以∠ACB＝. 答案　 7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝33，CD＝21，AD＝14，BC＝10，角A，B均为锐角，则对角线BD＝　　　　 　.  解析　 过点D作DE∥BC交AB于点E，连接BD，则DE＝10，AE＝12，AD＝14.在△ADE中，由余弦定理，得cos A＝＝.在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝625，解得BD＝25. 答案　25 8.如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD＝，2AB＝BD＝4. （1）求sin∠ADB； （2）若BC＝，求CD. 解　（1）△ABD中，＝， 即＝，解得sin∠ADB＝. （2）因为AD⊥CD，所以sin∠ADB＝＝cos∠CDB. 在△BCD中，cos∠CDB＝， 即＝， 故CD2－2CD－6＝0，化简得（CD－3）（CD＋）＝0，解得CD＝3. 9.如图，四边形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝. （1）求∠ACB； （2）若∠ADC＝，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积. 解　（1）法1：设BC＝a，则AC＝a， 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC. 即3a2＝42＋a2－2×4a×，∴a2＋2a－8＝0. ∴a＝2或a＝－4（舍去）， ∴AB2＝AC2＋BC2.∴∠ACB＝. 法2：在△ABC中，由正弦定理可知＝. 即＝， ∴sin ∠BAC＝. ∵BC＜AC，∴∠BAC＝，∴∠ACB＝. （2）∵四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝2，∠ADC＝， ∴AD＋CD＝4.又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC， 即12＝AD2＋DC2＋AD·DC＝（AD＋CD）2－AD·DC， ∴AD·DC＝4.∴S△A