5.4 数列的应用（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

5.4　数列的应用 [学习任务] 1.知道分期还款的含义. 2.能解决分期还款中的计算问题. 3.了解政府支出的“乘数”效应并会计算相应问题. [对应学生用书第30页] 知识点一　等额本金还款法 　　“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还， 每期还款金额＝＋（贷款本金－已还本金总额）×利率. an＝＋×r. 某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （　　） A.元 B.元 C.元 D.元 解析　设每年偿还的金额为x元， 则a（1＋p）m＝x＋x（1＋p）＋x（1＋p）2＋…＋x（1＋p）m－1，所以a（1＋p）m＝x，解得x＝. 答案　D 知识点二　等额本息还款法 　　“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，设贷款时的资金A0元为现值，且每一期所还钱数为x元，则： 第1期所还钱的现值为元； 第2期所还钱的现值为元； …… 第m期所还钱的现值为元. 因为最后还款的现值总和应为A0元，所以 ＋＋…＋＝A0， 又因为r＞0，所以由等比数列前n项求和公式可解得 x＝. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）“等额本息还款法”每一期所还钱数是等差数列. （×） （2）“等额本息还款法”是将利息平均分配到每一期进行偿还. （×） （3）在政府财政中，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数”效应. （√） [对应学生用书第30页] 探究一　储蓄问题 [例1]　某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： （1）如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a（1＋n·6.5%）计算本利（n为年数）； （2）如果按每年转存计，即每存入a元，按（1＋5.7%）n·a计算本利（n为年数）. 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？ [解]　若不计复利，5年的零存整取本利是 2 000（1＋5×0.065）＋2 000（1＋4×0.065）＋…＋2 000×（1＋0.065）＝11 950（元）； 若计复利，则2 000（1＋0.057）5＋2 000（1＋0.057）4＋…＋2 000（1＋0.057） ≈2 000×≈11 860（元）. 所以第（1）种存款方式到期的全部本利较高. 　　对于这类问题的求解，关键是要搞清：（1）是单利还是复利.（2）存几年.单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算.设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn＝P（1＋nr）. 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息.设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y＝P（1＋r）x. 1.2015年7月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京.某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为 （　　） A.a（1＋p）6 B.a（1＋p）7 C.[（1＋p）6－（1＋p）] D.[（1＋p）7－（1＋p）] 解析　由题意，2016年1月1日存入的a元，一年后存款及利息为a（1＋p），二年后存款及利息为a（1＋p）2，……，依次类推， 由此可得，从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为 a（1＋p）6＋a（1＋p）5＋…＋a（1＋p） ＝＝[（1＋p）7－（1＋p）]. 答案　D 探究二　分期还款问题 [例2]　某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？ （参考数据：取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665） [解]　甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为（1＋30%）， 所以10年所获得的总利润为 S10＝1＋（1＋30%）＋（1＋30%）2＋…＋（1＋30%）9 ＝≈42.62（万元）， 贷款到期时，需要偿还银行的本息是 10