5.3.2 第3课时 数列求和及综合应用（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

第3课时　数列求和及综合应用 [对应学生用书第26页] 探究一　裂项法求和 [例1]　公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝9，且a2a8＝a3a5. （1）求{an}的通项公式； （2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　（1）设{an}的公差为d（d≠0），由a2a8＝a3a5， 得（a1＋d）（a1＋7d）＝（a1＋2d）（a1＋4d）， ∵d≠0，∴整理得d＝2a1，由S3＝9得3a1＋d＝9， ∴a1＝1，d＝2， ∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1. （2）由（1）知bn＝＝， ∴Tn＝＝＝. 　　（1）对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项. （2）常见的拆项公式有 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. ⑤＝. 1.在①a3＝7，a5＋a7＝26；②a1＝3，S7＝63；③Sn＝n2＋2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若　　　　 .  （1）求an； （2）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　（1）若选择条件①：在等差数列{an}中， ∵ ∴解得 ∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋2（n－1）＝2n＋1； 若选择条件②：在等差数列{an}中， ∵解得 ∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋2（n－1）＝2n＋1； 若选择条件③：在等差数列{an}中，∵Sn＝n2＋2n， ∴当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－（n－1）2－2（n－1）＝2n＋1，a1也符合， ∴an＝2n＋1. （2）由（1）得bn＝＝＝＝， ∴Tn＝＝. 探究二　数列与不等式 [例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3. （1）证明数列{an}是等比数列； （2）若数列{bn}满足bn＝log3an，证明数列的前n项和Tn＜. [证明]　（1）由题意可得，当n＝1时，2a1＝2S1＝3a1－3， ∴a1＝3≠0， 当n≥2（n∈N*）时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3an－3－（3an－1－3）＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1.∵a1＝3≠0，∴an－1≠0，于是有＝3， 故数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列. 得证. （2）由（1）可知an＝3n，∴bn＝log3an＝log33n＝n，＝， 则Tn＝＋＋＋…＋＋， ① 3Tn＝1＋＋＋＋…＋， ② ②－①得，2Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝－＝－·， ∴Tn＝－·. ∵n∈N*，故·＞0， ∴Tn＝－·＜. 得证. 　　（1）数列与不等式的结合，一般有两类题. 一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围. （2）此类问题解答规律与方法. ①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； ②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较. 2.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，若≥λ对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为 （　　） A. B.0 C.－2 D.2 解析　因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且＝， 所以＝＝＝＝＝＝－2单调递减. 当n＝1时，取得最大值为，所以∈. 若≥λ对任意的n∈N*恒成立，所以λ≤－2， 故实数λ的最大值为－2. 答案　C 探究三　数列的新定义问题 [例3]　定义向量列：a1，a2，a3，…，an从第二项开始每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量），即an＝an－1＋d（n≥2，且n∈N*），其中d为常向量，则称这个向量列{an}为等差向量列.这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}满足a1＝（1，1），a2＋a4＝（6，10），则向量列{an}的前n项和Sn＝　　　　.  [解析]　易知等差数列的性质在等差向量列里面也适合，类比等差数列的等差中项的性质，得2a3＝a2＋a4＝（6，10），解得a3＝（3，5）. 所以等差向量列{an}的公差为d＝＝＝＝＝（1，2）. 类比等差数列的通项公式，得等差向量列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝（1，1）＋（