5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习任务] 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 3.会用数列的前n项和公式判断等比数列. [对应学生用书第22页] 知识点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）等比数列前n项和Sn不可能为0. （×） （2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na. （√） （3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝. （×） 知识点二　等比数列前n项和的性质 1.数列{an}为公比不为－1的等比数列（或公比为－1，且n不是偶数），Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm（n，m∈N＋）. 3.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝（q≠－1）. 1.若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝　　　　.  解析　∵{an}是等比数列， ∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，a9＋a10为等比数列， 且公比q＝＝4，∴a9＋a10＝1×44＝256. 答案　256 2.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为　　　　.  解析　设公比是q，项数为n（n为偶数）， 由题意得a1＋a3＋…＋an－1＝85，a2＋a4＋…＋an＝170，a1q＋a3q＋…＋an－1q＝170， ∴（a1＋a3＋…＋an－1）q＝170，解得q＝2. 答案　2 [对应学生用书第22页] 探究一　等比数列前n项和公式的基本运算 [例1]　在等比数列{an}中： （1）若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7； （2）若a3＝，S3＝，求a1和公比q. [解]　（1）∵{an}为等比数列，且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4.∴16＝q4.∴q＝2（q＝－2，舍去）. ∴S7＝＝＝127. （2）①当q≠1时，S3＝＝. 又a3＝a1·q2＝，∴a1（1＋q＋q2）＝， 即（1＋q＋q2）＝， 解得q＝－（q＝1，舍去），∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝. 综上得或 　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 1.在等比数列{an}中： （1）若q＝2，S4＝1，求S8； （2）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5. 解　（1）设首项为a1，∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. （2）设公比为q，由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得q3＝， 即q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×＝1， S5＝＝＝. 探究二　等比数列前n项和的性质 [例2]　（1）在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝　　　　.  （2）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且（a1＋a3＋…＋a2n－1）－（a2＋a4＋…＋a2n）＝80，则公比q＝　　　　.  [解析]　（1）∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1， ∴S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列， 即7，S4－7，91－S4构成等比数列， ∴（S4－7）2＝7（91－S4），解得S4＝28或S4＝－21. 又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝（a1＋a2）（1＋q2）＝S2·（1＋q2）＞0， ∴S4＝28. （2）由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝2. [答案]　（1）28　（2）2 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前n项和公式时，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. （2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于 （　　） A.31 B.32 C.63 D.64 解析　方法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 若q＝1，则有Sn＝na