5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　等差数列前n项和的应用 [学习任务] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会用等差数列前n项和公式解决实际问题. [对应学生用书第14页] 知识点一　等差数列前n项和的性质 1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d（m∈N*）. 3.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n（an＋an＋1），S偶－S奇＝nd，＝. 4.若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝（2n＋1）an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. [思考]　在性质3中，an和an＋1分别是哪两项？在性质4中，an＋1是哪一项？ [提示]　中间两项，中间项. 知识点二　等差数列{an}的前n项和的最值 1.公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点（n，Sn）在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次多项式，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 2.等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列{an}中， 当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. （2）Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，则Sn取最小值时对应的n值为　　　　.  解析　∵Sn＝2n2－30n＝2－，而n为正整数，∴当n＝7或8时，Sn最小. 答案　7或8 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若∀n∈N*，an＝20－3n，则Sn的最大值为　　　　.  解析　因为∀n∈N*，an＝20－3n，所以an＋1－an＝－3，所以数列{an}为等差数列，令an＝20－3n≥0，解得n≤. 所以a1，a2，…，a6＞0，a7，a8，…，an＜0， 则Sn的最大值为S6＝＝57. 答案　57 [对应学生用书第15页] 探究一　等差数列前n项和的性质 [例1]　（1）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝　　　　.  （2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. [解析]　（1）由得 ∴S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. （2）方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30，70，S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋（S3m－100），∴S3m＝210. 方法二　在等差数列中，，，成等差数列， ∴＝＋. 即S3m＝3（S2m－Sm）＝3×（100－30）＝210. [答案]　（1）2　（2）见解析 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. （2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 1.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于　　　　.  解析　根据题意，得S奇＝＝165， S偶＝＝150. 因为a1＋a2n＋1＝a2＋a2n， 所以＝＝＝，所以n＝10. 答案　10 2.一个等差数列的前5项和是10，前10项和是50，那么它的前15项和等于　　　　.  解析　设等差数列前n项和为Sn，则S5＝10，S10＝50， 由等差数列性质知S5，S10－S5，S15－S10成等差数列， ∴2（S10－S5）＝S5＋S15－S10， 即2×（50－10）＝10＋S15－50，解得S15＝120. 答案　120 探究二　等差数列前n项和的最值问题 [例2]　设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，　　　　.从①an＝an－1－3（n≥2）；②S5＝a3a5中任选一个，补充在问题中并作答：  （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn的最值. [解]　（1）若选①，设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得d＝an－an－1＝－3（n≥2）. 因为a3＝a1＋（3－1）×（－3）＝7，解得a1＝13， 所以an＝－3n＋16； 若选②，设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得解得 所以d＝＝－1， 故a1＝a3－2d＝9，所以an＝－