5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习任务] 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个. [对应学生用书第12页] 知识点　等差数列的前n项和 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 1.记Sn分别为等差数列{an}的前n项和，若an＝21－2n，则S10＝　　　　.  解析　因为a1＝19，a10＝1，所以前10项的和为S10＝×10＝100. 答案　100 2.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于　　　　.  解析　由已知S3＝3a1＋3d＝3×4＋3d＝6，得d＝－2. 答案　－2 [对应学生用书第12页] 探究一　等差数列前n项和的有关计算 [例1]　在等差数列{an}中. （1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； （2）已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. [解]　（1）解得a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×（－5）＋5×9×3＝85. （2）由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39. 又∵a8＝4＋（8－1）d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5. 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若s＋t＝p＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用. 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝8，S9＝11a4. （1）求an； （2）若Sn＝3an＋2，求n. 解　（1）设公差为d，由已知 得解得 所以an＝2n＋1. （2）Sn＝＝n2＋2n， 因为Sn＝3an＋2，即n2＋2n＝3（2n＋1）＋2， 得n2－4n－5＝0， 解得n＝5或n＝－1（舍去），所以n＝5. 探究二　利用Sn判断等差数列 [例2]　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. [解]　∵Sn＝2n2－3n－1， ① 当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2； 当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）2－3（n－1）－1， ② ①减②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2（n－1）2－3（n－1）－1]＝4n－5. 经检验，当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 　　（1）已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1（n≥2），这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错. （2）在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an（n≥2）的情形. ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，则{an}是等差数列. ②若a1不适合an，则an＝则{an}不是等差数列. 2.已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2.求证：{an}是等差数列. 证明　由题意，得 ①若n≥2，则an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－[25（n－1）－2（n－1）2]＝－4n＋27； ②若n＝1，则a1＝S1＝23，经检验满足上式. 故an＝－4n＋27， 由an＋1－an＝－4可知，数列{an}是首项为23，公差为－4的等差数列. 探究三　等差数列前n项和的比值问题 [例3]　（1）记等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若＝，则＝ （　　） A. B. C. D. （2）设等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为 （　　） A. B. C. D.－1 [解析]　（1）根据等差数列的性质，＝＝＝＝＝，选项C正确. （2）由题意，＋＝＝＝＝＝. [答案]　（1）C　（2）C 　　（1）等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，应用的公式为an＝，所以an∶bn＝S2n－1∶T2n－1. （2）等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.而等差数列的性质则是这一特征的具体反映.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果. 3.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝ （　　） A. B. C. D. 解析