5.2.1 第2课时 等差数列的性质（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　等差数列的性质 [学习任务] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算. [对应学生用书第9页] 知识点一　等差中项的概念 　　如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项.根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝. [思考]　在下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： （1）2，4；（2）－1，5；（3）0，0；（4）a，b. [提示]　插入的数分别为（1）3，（2）2，（3）0，（4）. 知识点二　等差数列的性质 1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数） {can} 公差为cd的等差数列（c为任一常数） {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N＋） {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数） 2.等差数列的项的对称性 　　在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 3.下标性质：一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq. 4.在等差数列中每隔相同的项数选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 5.等差数列{an}的公差为d，则d＞0⇔{an}为递增数列； d＜0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列. 1.在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于 （　　） A.5 B.8 C.10 D.14 解析　a1＋a7＝a3＋a5＝10. 答案　C 2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是 （　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析　因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 答案　C [对应学生用书第10页] 探究一　等差中项及应用 [例1]　（1）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. （2）已知，，成等差数列.求证：，，也成等差数列. [解]　（1）因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，则b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. （2）证明：因为，，成等差数列，所以＝＋，即2ac＝b（a＋c）. 因为＋＝＝＝＝＝， 所以，，成等差数列. 　　若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以a，A，b成等差数列⇔A＝. 1.已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为　　　　，　　　　，　　　　.  解析　因为8，a，2，b，c是等差数列， 所以得 答案　5　－1　－4 探究二　等差数列的性质及应用 [例2]　（1）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　.  （2）已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值为　　　　.  [解析]　（1）方法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21， 所以d1＋d2＝7， 所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35. 方法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列， ∴数列{an＋bn}也构成等差数列， ∴2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5）， ∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35. （2）∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， ∴5a5＝450.∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180. [答案]　（1）35　（2）180 　　（1）利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示. （2）本题的求解主要用到了等差数列的以下性质： 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，