5.2.1 第1课时 等差数列的定义（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 [学习任务] 1.理解等差数列、等差中项的概念.掌握等差数列的证明方法. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. [对应学生用书第7页] 知识点一　等差数列的定义和通项公式 1.等差数列的定义 　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差. 2.等差数列的通项公式 　　以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）数列4，4，4，…是等差数列. （√） （2）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列. （×） （3）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. （×） 知识点二　从函数角度认识等差数列{an} 　　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f（n）＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）. （1）点（n，an）落在直线y＝dx＋（a1－d）上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d； （2）这些点的横坐标每增加1，函数值就增加d. [思考]　若等差数列{an}是递增数列，那么其公差d的取值范围是什么？ [提示]　（0，＋∞）. [对应学生用书第7页] 探究一　等差数列的通项公式及应用 [例1]　（1）在等差数列{an}中，a3＝7，a5＋a7＝32，则{an}的公差d＝ （　　） A.5 B.4 C.3 D.2 （2）已知数列{an}满足a1＝5，an＋1＝an＋3，若an＝20，则n等于 （　　） A.3 B.4 C.5 D.6 （3）数列{an}中，a1＝1，a2＝，且n≥2时，有＋＝，则an＝　　　　.  [解析]　（1）设等差数列{an}的公差为d， 由题意可知，解得 （2）数列{an}中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3， 则数列{an}是公差d＝3的等差数列， 于是得an＝a1＋（n－1）d＝3n＋2. 由an＝20，即3n＋2＝20，解得n＝6，所以n等于6. （3）因为n≥2时，有＋＝，即－＝－，所以数列是等差数列.因为a1＝1，a2＝，所以－＝，因此－＝（n≥2），所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋（n－1）＝，因此an＝. [答案]　（1）C　（2）D　（3） 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. （3）通项公式可变形为an＝dn＋（a1－d）. 1.等差数列，－，－，…的第4项为 （　　） A.－ B.－ C. D.－ 解析　设等差数列的公差为d，则由已知得a1＝，d＝－－＝－2，得a4＝－－2＝－. 答案　B 2.等差数列{an}中，a1＝1，a4－a2＝2，则a8＝ （　　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析　设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d＝2，d＝1，所以a8＝a1＋7d＝8. 答案　C 3.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式an＝　　　　.  解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意可知，a2＜a1d＜a3，即a1＋d＜a1d＜a1＋2d，因为a1＞0，所以可取a1＝3，d＝2，满足不等式，则数列的通项公式为an＝2n＋1. 答案　2n＋1（答案不唯一） 探究二　等差数列的判定与证明 [例2]　设Sn为数列{an}的前n项和，且S1＝，Sn＋1＝2－. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. [解]　（1）证明：由题意，数列{an}满足Sn＋1＝2－， 可得Sn＋1－1＝1－＝， 则＝， 所以－＝－＝＝1. 又由S1＝，所以＝2， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列. （2）由数列表示首项为2，公差为1的等差数列， 可得＝2＋（n－1）×1＝n＋1，所以Sn＝＋1， 当n≥2时，可得 an＝Sn－Sn－1＝＋1－＝－. 因为S1＝，可得a1＝S1＝，不适合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 判断或证明等差数列的方法 （1）定义法 an＋1－an＝d（n∈N＋）或an－an－1＝d（n≥2，n∈N＋）⇔数列{an}是等差数列. （2）通项公式法 数列{an}的通项