5.1.2 数列中的递推（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 [学习任务] 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式. 3.了解数列的函数特性. [对应学生用书第5页] 知识点一　数列的递推公式 1.数列的递推公式 　　如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称递推公式或递归公式）. 2.数列的通项公式与递推公式的区别与联系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1（或前几项）之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 （1）都是表示数列的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 [思考]　所有数列都有递推公式吗？ [提示]　不一定，例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值构成的数列：1，1.4，1.41，1.414，…，没有递推公式. 知识点二　数列的前n项和 1.一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和. 2.一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2，有Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an. 所以Sn＝Sn－1＋an，因此an＝ 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，则an＝　　　　.  解析　∵Sn＝n2＋n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝2n， 验证当n＝1时上式成立. ∴an＝2n，n∈N＋. 答案　2n，n∈N＋ [对应学生用书第5页] 探究一　由递推公式求数列的项 [例1]　已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项. [解]　∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝， a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. 　　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 1.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 022＝ （　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析　∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1， ∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2， a4＝1－a3－a2＝1－（－2）－2＝1， a5＝1－a4－a3＝1－1－（－2）＝2， …… 由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，所以a2 022＝a3＝－2. 答案　A 2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2＋，则a4＝　　　　.  解析　由an＋1＝2＋，分别取n＝1，2，3可得a2＝2＋，a3＝2＋，a4＝2＋. 又a1＝1，∴a2＝3，a3＝，a4＝. 答案　 探究二　由数列的递推公式求通项公式 [例2]　（1）在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝　　　　.  （2）已知数列{an}的项满足an＋1＝an，a1＝2，则数列{an}的通项公式为　　　　.  [解析]　（1）因为an＋1＝an＋， 即an＋1－an＝－， 则an－an－1＝－， an－1－an－2＝－， an－2－an－3＝－， …… a3－a2＝－， a2－a1＝1－， 所以an－an－1＋an－1－an－2＋an－2－an－3＋…＋a3－a2＋a2－a1＝－＋－＋－＋…＋－＋1－，即an－a1＝1－. 又因为a1＝3，所以an＝1－＋a1＝4－. （2）因为an＋1＝an，所以＝， 所以＝，＝，…，＝（n≥2）. 以上式子累乘得＝×××…×××＝， 因为a1＝2，所以an＝. [答案]　（1）4－　（2）an＝ 由递推公式求通项公式的技巧 （1）由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧. （2）当an－an－1＝f（n）且满足一定条件时，常用an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1来求an. （3）当＝f（n）且满足一定条件时，常用an＝··…···a1来求an. 3.设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1（n∈N*），则数列{an}的通项公式为an＝　　　　.  解析　由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1（n≥2）， 以上各式相加，得an－a1＝＝n－1. 因为a1＝1，所以an＝n（n≥2）. 又a1＝1也满足an＝n，